1東北大学 2016年 数学 第1問解答・解説

(1) $BE\perp AC$ かつ 点 $E$ が辺 $AC$ 上にあることより $\angle BEC=90^\circ$。また $CF\perp AB$ かつ 点 $F$ が辺 $AB$ 上にあることより $\angle BFC=90^\circ$。したがって $E,F$ はともに $BC$ を直径とする円上にあり、 $$\boxed{B,C,E,F\text{ は同一円周上にある。}}$$ さらに 線分 $EH$ は線分 $BE$ に、線分 $FH$ は線分 $CF$ にそれぞれ含まれるので $$\angle AEH=90^\circ,\qquad \angle AFH=90^\circ.$$ これらはともに $AH$ を直径とする円周角である。よって $$\boxed{A,F,H,E\text{ は同一円周上にある。}}$$

(2) まず、$AD\perp BC$、$BE\perp AC$ より $$\angle ADB=\angle AEB=90^\circ$$ であるため、$A,B,D,E$ は直径 $AB$ の円上にある。$A,E,C$ は一直線上で $E$ は $A,C$ の間にある。したがって $\angle CED=180^\circ-\angle AED$。一方、円に内接する四角形 $ABDE$ では $\angle AED+\angle ABD=180^\circ$ だから $$\angle CED=180^\circ-\angle AED=\angle ABD=\angle ABC.$$ また 線分 $CD$ は線分 $CB$ に、線分 $CE$ は線分 $CA$ にそれぞれ含まれることより $\angle DCE=\angle BCA$。したがって三角形 $CDE$ の内角和から $$\angle CDE=180^\circ-\angle ABC-\angle BCA=\angle BAC.$$ $DA\perp DC$ であり、$DE$ は直角 $ADC$ の内部にあるので $$\angle ADE=90^\circ-\angle CDE=90^\circ-\angle BAC.$$

次に、$AD\perp DC$、$CF\perp AF$ より $$\angle ADC=\angle AFC=90^\circ,$$ したがって $A,C,D,F$ は直径 $AC$ の円上にある。$A,F$ は直線 $BC$ の同じ側にあるので、弦 $CD$ に対する同じ弧の円周角を用いると $$\angle CFD=\angle CAD=90^\circ-\angle ACD=90^\circ-\angle BCA.$$ $BF\perp FC$ で、$D$ は辺 $BC$ 上にあるので、$FD$ は $\angle BFC$ の内部にある。よって $$\angle BFD=90^\circ-\angle DFC=\angle BCA.$$ また $\angle DBF=\angle ABC$ だから、三角形 $BDF$ の内角和より $$\angle BDF=180^\circ-\angle DBF-\angle BFD=\angle BAC.$$ $DA\perp DB$ で、$DF$ は直角 $ADB$ の内部にあるため $$\angle ADF=90^\circ-\angle BDF=90^\circ-\angle BAC.$$ 従って $$\boxed{\angle ADE=\angle ADF=90^\circ-\angle BAC}.$$