II鳥取大学 2016年 数学 第II問解答・解説

円Cの方程式は $x^2+(y-1)^2=1$ だから、中心は $A(0,1)$、半径は $1$ である。直線 $\ell$ を $kx-y+2k=0$ とおく。

・ 点と直線の距離の公式より、$A$ と $\ell$ の距離は $\displaystyle \dfrac{|k\cdot0-1+2k|}{\sqrt{k^2+(-1)^2}}=\dfrac{|2k-1|}{\sqrt{k^2+1}}$ である。

・ $A$ から $\ell$ までの距離が円の半径 $1$ より小さいとき、$\ell$ と $C$ は異なる2点で交わる。したがって $\displaystyle \dfrac{|2k-1|}{\sqrt{k^2+1}}<1$。両辺は非負で分母は正だから、両辺を平方して $(2k-1)^2<k^2+1$、すなわち $3k^2-4k<0$。よって $k(3k-4)<0$ から $\displaystyle 0<k<\dfrac43$。

・ 中心 $A$ から弦 $PQ$ に下ろした垂線は $PQ$ を二等分する。よって $\displaystyle \dfrac{PQ}{2}=\sqrt{1-d^2}$（ただし $\displaystyle d=\dfrac{|2k-1|}{\sqrt{k^2+1}}$）。条件 $PQ=2\sqrt{k}$ と (2) の $k>0$ より、$\displaystyle 1-\dfrac{(2k-1)^2}{k^2+1}=k$。分母 $k^2+1$ は正なので、これを整理すると $k(4-3k)=k(k^2+1)$、$k>0$ で割って $k^2+3k-3=0$。したがって $\displaystyle k=\dfrac{-3\pm\sqrt{21}}2$。 (2) の範囲に入るのは $\displaystyle k=\dfrac{\sqrt{21}-3}2$ である（$4<\sqrt{21}<5$ より $\displaystyle \dfrac12<k<1<\dfrac43$）。

・ 直線 $AB$ の傾きは $\displaystyle \dfrac{0-1}{-2-0}=\dfrac12$ である。$\ell$ の傾き $\displaystyle k=\dfrac{\sqrt{21}-3}2$ は $\displaystyle \dfrac12$ より大きいので、両直線の傾き角の差が $\theta$ である。傾き角の差に対する正接の公式から、$\displaystyle \tan\theta=\dfrac{k-\frac12}{1+\frac{k}{2}}=\dfrac{2(\sqrt{21}-4)}{\sqrt{21}+1}=\dfrac{5-\sqrt{21}}2$。さらに $3<\sqrt{21}<5$ より $0<\tan\theta<1$ であり、確かに $\displaystyle 0<\theta<\dfrac{\pi}{4}$ である。