3東邦大学 2016年 数学 第3問解答・解説

点 $A=(x,y)$ とすると、$A$ は単位円上にあり、$PA=\sqrt5$ であるから $$x^2+y^2=1,\qquad (x-3)^2+(y-1)^2=5.$$ 2式の差をとると $3x+y=3$ となる。これを円の式に代入すると $$x^2+(3-3x)^2=1.$$ 展開・移項して2で割ると、これと同値な式 $$(5x-4)(x-1)=0$$ を得る。 第1象限の点なので $A=(4/5,3/5)$ である。したがって、$P(3,1)$ と $A$ を通る直線の傾きは $$\displaystyle \frac{1-3/5}{3-4/5}=\frac2{11}$$ であり、その方程式は $2x-11y+5=0$ である。

原点からこの直線までの距離を $d$ とすると $$\displaystyle d=\frac{|5|}{\sqrt{2^2+(-11)^2}}=\frac1{\sqrt5}.$$ この直線が単位円から切り取る弦ABの中点までの距離が $d$ である。半弦長を $h$ とすれば、直角三角形より $h^2+d^2=1$ だから $$\displaystyle AB=2h=2\sqrt{1-d^2}=\frac4{\sqrt5}=\frac{4\sqrt5}{5}.$$ また、$\triangle OAB$ の高さは $d=1/\sqrt5$ なので $$\displaystyle [\triangle OAB]=\frac12\cdot AB\cdot d =\frac12\cdot\frac4{\sqrt5}\cdot\frac1{\sqrt5}=\frac25.$$ よって $\text{ケ}=4,\ \text{コ}=5,\ \text{サ}=5,\ \text{シ}=2,\ \text{ス}=5$ である。