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東邦大学／2016年度／一般

東邦大学 2016年 数学 第5問解答・解説

図形と計量いろいろな式

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1問題

東邦大学2016年度第5問

0∘<θ<90∘0^\circ<\theta<90^\circ のとき、 4(1+sin⁡θ)−31−sin⁡θ\displaystyle 4(1+\sin\theta)-\frac{3}{1-\sin\theta} の最大値は タチツ+テ\boxed{\text{タチ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}+\boxed{\text{テ}} である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

u=1−sinθと置換し、正数4uと3/uの相加相乗平均で式の上界を求める。等号条件が角度の範囲内で実現することも確かめる。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 8−43=−43+8;8-4\sqrt3= -4\sqrt3+8;\qquad タチ=−4, =-4,\space{} ツ=3, =3,\space{} テ=8.=8.

4解答

解答を見る途中式つきの解答

s=sin⁡θs=\sin\theta とおくと 0<s<10<s<1 である。さらに u=1−su=1-s とおけば 0<u<10<u<1 であり、与式は 4(1+sin⁡θ)−31−sin⁡θ=8−4u−3u\displaystyle 4(1+\sin\theta)-\frac{3}{1-\sin\theta}=8-4u-\frac3u となる。正の数 4u,3/u4u,3/u に相加相乗平均を用いると 4u+3u≧24u⋅3u=43.\displaystyle 4u+\frac3u\geq2\sqrt{4u\cdot\frac3u}=4\sqrt3. よって与式は 8−438-4\sqrt3 以下である。等号条件は 4u=3/u4u=3/u、すなわち u=3/2u=\sqrt3/2 であり、この値は 0<u<10<u<1 に属する。したがって実際に等号が達成され、最大値は 8−43=−43+88-4\sqrt3=-4\sqrt3+8 である。このとき sin⁡θ=1−3/2\sin\theta=1-\sqrt3/2 で、0<θ<90∘0<\theta<90^\circ を満たす。ゆえに タチ=−4, ツ=3, テ=8\text{タチ}=-4,\ \text{ツ}=3,\ \text{テ}=8 である。

この問題で使う考え方

  • 三角比と相互関係
  • 等式・不等式の証明

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