東邦大学 2016年数学第11問解答・解説

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1問題

東邦大学2016年度第11問

$O$ を原点とする座標平面上に2点 $A,B$ があり、 $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の成分はそれぞれ $(1,0),(0,1)$ である。線分 $AB$ を $(1-t):t$ に内分する点を $C$ 、線分 $BO$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $D$ とする。ただし、 $0<t<1$ である。 $\overrightarrow{OC}$ と $\overrightarrow{AD}$ のなす角を $\theta$ とするとき、 $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}<\cos\theta<\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $t$ の値の範囲は $\displaystyle 0<t<\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

内分点の位置ベクトルでcosθを表し、正の長さを用いて対称な範囲条件を二乗不等式へ変形し、因数分解して範囲を得る。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle 0<t<\frac23,\qquad$ ア $=2,\quad$ イ $=3.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\overrightarrow{OA}=(1,0)$ 、 $\overrightarrow{OB}=(0,1)$ である。内分の公式から $C=(t,1-t),\qquad D=(0,1-t),$ したがって $\overrightarrow{OC}=(t,1-t)$ 、 $\overrightarrow{AD}=(-1,1-t)$ である。よって $\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{AD}=t^2-3t+1,$ $|\overrightarrow{OC}|^2=2t^2-2t+1,\qquad |\overrightarrow{AD}|^2=t^2-2t+2.$ ここで $0<t<1$ なので両ベクトルの長さは正である。 $N=t^2-3t+1$ 、 $L=(2t^2-2t+1)(t^2-2t+2)>0$ とおけば $\cos\theta=N/\sqrt L$ 。したがって $\displaystyle -\frac1{\sqrt2}<\cos\theta<\frac1{\sqrt2} \quad\text{すなわち}\quad 2N^2<L.$ 差を計算すると $L-2N^2=6t^3-13t^2+6t=t(3t-2)(2t-3).$ $0<t<1$ では $t>0$ 、 $2t-3<0$ だから、この積が正となるのは $3t-2<0$ 、すなわち $0<t<2/3$ のときである。よって求める範囲は $\displaystyle 0<t<\frac23,$ したがって $\text{ア}=2,\ \text{イ}=3$ である。

この問題で使う考え方

位置ベクトル
ベクトルの和・差・実数倍
ベクトルによる図形の考察

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