東邦大学 2016年数学第1問解答・解説

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1問題

東邦大学2016年度第1問

$e$ を自然対数の底とし、関数 $f(x)$ を $f(x)=8\log_e\sqrt{6+\sqrt{9+x^3}}$ と定める。このとき、 $\displaystyle f'(3)=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

平方根の対数を整理し、指数・対数関数と合成関数の微分公式を用いてf'(3)を計算する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle f'(3)=\frac34,\qquad$ ア $=3,\quad$ イ $=4.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$f(x)=8\log_e\sqrt{6+\sqrt{9+x^3}}=4\log_e\left(6+\sqrt{9+x^3}\right).$ したがって連鎖律より $\displaystyle f'(x)=4\cdot\frac{1}{6+\sqrt{9+x^3}}\cdot\frac{3x^2}{2\sqrt{9+x^3}} =\frac{6x^2}{\sqrt{9+x^3}\left(6+\sqrt{9+x^3}\right)}.$ $x=3$ では $\sqrt{9+3^3}=6$ だから $\displaystyle f'(3)=\frac{6\cdot9}{6(6+6)}=\frac{54}{72}=\frac34.$ よって $\text{ア}=3,\ \text{イ}=4$ である。

この問題で使う考え方

合成関数の微分
指数・対数関数の微分

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