東邦大学 2016年数学第7問解答・解説

いろいろな式

このページには広告が含まれます。

1問題

東邦大学2016年度第7問

整式 $x+x^{104}$ を、整式 $1-x+x^2$ で割ったときの余りは $\boxed{\text{エオ}}+\boxed{\text{カ}}x$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

割る多項式が定めるx²の関係を用いて高い冪を順に低次化し、次数1以下の余りを得る。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$-1+2x;\qquad$ エ $=-,\space{}$ オ $=1,\space{}$ カ $=2.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

割る式は $x^2-x+1$ であるから、余りを考えるとき $x^2\equiv x-1.$ これより $x^3\equiv x(x-1)=x^2-x\equiv-1.$ $104=3\cdot34+2$ なので $x^{104}=(x^3)^{34}x^2\equiv(-1)^{34}(x-1)=x-1.$ したがって $x+x^{104}\equiv x+(x-1)=2x-1.$ これは次数1の式なので、求める余りは $-1+2x$ である。ゆえに $\text{エオ}=-1,\ \text{カ}=2$ である。

この問題で使う考え方

多項式の除法

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。