3大阪大学 2005年 数学 第3問解答・解説

$A$を原点とし，$AB$を$x$軸，$AD$を$y$軸とする。$\angle DAB=90^\circ$より，$B=(1,0,0)$，$D=(0,3,0)$とおける。$C=(x,y,z)$とすると， $$x=|AC|\cos\angle BAC=2\cos60^\circ=1,\qquad y=|AC|\cos\angle CAD=2\cos60^\circ=1.$$ また，$AC=2$より $$x^2+y^2+z^2=4$$ だから，$z^2=2$である。座標軸の向きを選び，$C=(1,1,\sqrt2)$としてよい。

$E=(p,q,r)$とおく。$EA=EB$より $$p^2+q^2+r^2=(p-1)^2+q^2+r^2$$ なので$\displaystyle p=\dfrac12$である。また，$EA=ED$より $$p^2+q^2+r^2=p^2+(q-3)^2+r^2$$ となり，$\displaystyle q=\dfrac32$を得る。さらに$EA=EC$より $$p^2+q^2+r^2=(p-1)^2+(q-1)^2+(r-\sqrt2)^2,$$ したがって $$p+q+\sqrt2\,r=2.$$ ここで$p+q=2$だから$r=0$である。よって $$\displaystyle AE=\sqrt{p^2+q^2+r^2} =\sqrt{\frac14+\frac94} =\dfrac{\sqrt{10}}2.$$