大阪大学 2005年数学第2問解答・解説

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1問題

大阪大学2005年度第2問

正の整数 $n$ に対して $\displaystyle S(n)=\sum\limits _{p=1}^{2n}\frac{(-1)^{p-1}}{p},\qquad T(n)=\sum\limits _{q=1}^{n}\frac{1}{n+q}$ とおく。等式 $S(n)=T(n)$ $(n=1,\,2,\,3,\,\ldots)$ が成り立つことを、数学的帰納法を用いて示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\boxed{S(n)=T(n)\quad(n=1,2,3,\ldots)}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{正の整数 }n\text{ に関する数学的帰納法で示す。}\quad \text{まず }n=1\text{ のとき、}\quad S(1)=1-\frac12=\frac12,\qquad T(1)=\frac1{1+1}=\frac12\text{ であるから、}S(1)=T(1)\text{ である。}\quad \text{次に、ある正の整数 }n\text{ で }S(n)=T(n)\text{ が成り立つと仮定する。このとき、}\quad S(n+1)=S(n)+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}.\quad \text{また、}T(n)=\displaystyle\sum\limits _{k=n+1}^{2n}\frac1k,\quad T(n+1)=\displaystyle\sum\limits _{k=n+2}^{2n+2}\frac1k\text{ だから、}\quad T(n+1)-T(n)=-\frac1{n+1}+\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}=\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2},\quad \text{ただし最後の等号では }\frac1{n+1}=\frac2{2n+2}\text{ を用いた。したがって、帰納法の仮定より}\quad S(n+1)=T(n)+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}=T(n+1).\quad \text{以上より、すべての正の整数 }n\text{ について }S(n)=T(n)\text{ が成り立つ。}$

この問題で使う考え方

数学的帰納法
有限和・Σ記号

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