1東京医科歯科大学 2005年 数学 第1問解答・解説

PDF p1平成17年度、p3二本の漸化式を確認。医学科対応は固定書誌による。

(1) 漸化式に $a_n=r^{n-1}$ の形を代入すると、特性方程式は $$\displaystyle r^2-\frac52r+1=0=(r-2)\left(r-\frac12\right)$$ となる。異なる2根 $\displaystyle 2,\frac12$ に対応する数列はともに元の漸化式を満たすので、初期値に合わせて $$\displaystyle a_n=A2^{n-1}+B\left(\frac12\right)^{n-1}$$ とおく。$\displaystyle a_1=\frac12, a_2=\frac74$ より $$\displaystyle A+B=\frac12,\qquad 2A+\frac12B=\frac74,$$ したがって $\displaystyle A=1, B=-\frac12$。よって $$\boxed{a_n=2^{n-1}-2^{-n}}.$$

(2) 同様に $b_n=r^{n-1}$ を代入すると $$\displaystyle r^3-\frac72r^2+\frac72r-1=(r-1)(r-2)\left(r-\frac12\right)=0.$$ 3根は相異なるので、初期値に合わせて $$\displaystyle b_n=A+B2^{n-1}+C\left(\frac12\right)^{n-1}$$ とおく。$\displaystyle b_1=2, b_2=\frac52, b_3=\frac{17}{4}$ から $$\displaystyle A+B+C=2,\quad A+2B+\frac12C=\frac52,\quad A+4B+\frac14C=\frac{17}{4}.$$ 差をとると $\displaystyle B-\frac12C=\frac12,\ 2B-\frac14C=\frac74$ であり、$C=1, B=1, A=0$。したがって $$\boxed{b_n=2^{n-1}+2^{1-n}}.$$ 上の一般項を初期値と漸化式へ直接代入すると一致する。各漸化式で次項は既知の前項から一意に定まるため、数学的帰納法により全項でこの式が成り立つ。