3東京医科歯科大学 2005年 数学 第3問解答・解説

高校範囲・使う事実　 $f''(x)<0$ からグラフが上に凸で、異なる2点を結ぶ弦より内部で必ず上にあること、$f'(x)>0$ からxが大きくなると関数値が必ず大きくなること、対称区間積分、区間ごとの積分評価を使う。高校微積分と不等式の範囲で示す。

(1) グラフが上に凸であることより、$\displaystyle a-\tfrac12\le x\le a+\tfrac12$ の範囲ではグラフは両端を結ぶ弦より厳密に上にある（内部点で）。弦の積分は区間幅1により端点値の平均である。したがって $$\displaystyle \frac{f(a-\tfrac12)+f(a+\tfrac12)}2 <\int_{a-\frac12}^{a+\frac12}f(x)\,dx.$$ また、グラフが上に凸で、異なる2点を結ぶ弦より内部で必ず上にあることから $\displaystyle 0<t\le \tfrac12$ で $f(a-t)+f(a+t)<2f(a)$。これを $\displaystyle 0\le t\le\tfrac12$ で積分して $$\displaystyle \int_{a-\frac12}^{a+\frac12}f(x)\,dx<f(a).$$ よって大小関係は $$\displaystyle \boxed{\frac{f(a-\frac12)+f(a+\frac12)}2<\int_{a-\frac12}^{a+\frac12}f(x)\,dx<f(a)}.$$ 条件 $\displaystyle a\ge\tfrac32$ により、区間全体が定義域 $x>0$ に含まれる。

(2) 右側の不等式について、グラフが上に凸であることにより $k<x<k+1$ で $f(x)>(k+1-x)f(k)+(x-k)f(k+1)$。区間積分を取ると $$\displaystyle \int_k^{k+1}f(x)\,dx>\frac{f(k)+f(k+1)}2.$$ $k=1,\ldots,n-1$ で加え、$f(1)=0$ を使えば $$\displaystyle \int_1^n f(x)\,dx>\sum\limits _{k=1}^{n-1}f(k)+\frac12f(n).$$

左側について、グラフが上に凸であることから各整数 $j=2,\ldots,n-1$ に対し対称区間上の平均値は中央の値より小さいので $$\displaystyle \int_{j-\frac12}^{j+\frac12}f(x)\,dx<f(j).$$ さらに $f$ はxが大きくなると必ず大きくなるため $$\displaystyle \int_{n-\frac12}^{n}f(x)\,dx<\frac12f(n).$$ $\displaystyle \tfrac32\le x\le n$ の範囲を $\displaystyle j-\tfrac12\le x\le j+\tfrac12\ (j=2,\ldots,n-1)$ と $\displaystyle n-\tfrac12\le x\le n$ の範囲に分けて加えると、$f(1)=0$ より $$\displaystyle \int_{\frac32}^{n}f(x)\,dx<\sum\limits _{j=2}^{n-1}f(j)+\frac12f(n) =\sum\limits _{k=1}^{n-1}f(k)+\frac12f(n).$$ $n=2$ のときは中央区間の和が空で、末尾半区間の評価だけで同じ不等式を得る。以上で両側を示した。

(3) $f(x)=\log x$ は $f(1)=0$、$f'(x)=1/x>0$、$f''(x)=-1/x^2<0$ を満たすから、(2)を適用できる。 $$\displaystyle \int_{\frac32}^{n}\log x\,dx<\log((n-1)!)+\frac12\log n<\int_1^n\log x\,dx.$$ 中央は $\displaystyle \log(n!)-\tfrac12\log n$。積分 $\displaystyle \int_1^n\log x\,dx=n\log n-n+1$ と $\displaystyle \int_{3/2}^n\log x\,dx=n\log n-n+c$、ただし $\displaystyle c=\tfrac32-\tfrac32\log(\tfrac32)$ は定数、を代入すると $$\displaystyle \frac12\log n+c<n+\log(n!)-n\log n<\frac12\log n+1.$$ $n\to\infty$ で $\log n\to\infty$ なので、$\log n$ で割ってはさみうちの原理を用いれば $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}\frac{n+\log(n!)-\log(n^n)}{\log n}=\frac12}.$$

独立判定　 (1)–(3)を独立に確認し、数学はPASS。凹関数の厳密不等式を積分し、整数単位の和を挟み、$\log x$ に適用して極限を得る。単元：数学III・微分積分、数列の極限。不等式評価・区間積分・はさみうちの原理。テーマ：凹関数の積分評価から階乗対数の増大率を評価。

照合と修正記録　 forward resultの最終回答と証明は本稿と一致する。別のbackward resultも最終回答は一致するが、(2)左側で半区間 $\displaystyle [k-\tfrac12,k]$ の和が $\displaystyle [\tfrac32,n]$ 全体を覆うとした箇所は誤りで、間の区間を落としている。本稿の単位幅の対称区間 $\displaystyle [j-\tfrac12,j+\tfrac12]$ と終端半区間による評価に差し替える。元の記録は保持する。