2宮崎大学 2010年 数学 第2問解答・解説

・ 全体 $n+4$ 個から2個を選ぶ方法は $\displaystyle \binom{n+4}{2}$ 通りである。求める事象の余事象は「番号1の球が1個も出ない」ことであり、番号1以外の4個から2個を選ぶので $\displaystyle \binom42$ 通り。従って $$\displaystyle P=1-\frac{\binom42}{\binom{n+4}{2}} =1-\frac{12}{(n+4)(n+3)}.$$

・ 球の番号の総和は、番号1の球が $n$ 個、番号2の球が2個、番号3と4の球が各1個なので $$n+2\cdot2+3+4=n+11.$$ 無作為に選ぶ1球の平均番号は全体の平均 $(n+11)/(n+4)$ である。2球を順に選ぶときも、各回においてどの球も同じ確率で選ばれる。期待値の加法性より、2球の番号の和の期待値は $$\displaystyle E=2\cdot\frac{n+11}{n+4}=\frac{2(n+11)}{n+4}.$$

・ 3球の番号の和が6になる型は $(1,1,4)$、$(1,2,3)$、$(2,2,2)$ だが、番号2の球は2個しかないので最後の型は不可能である。$(1,1,4)$ は番号1の球を $\displaystyle \binom n2$ 通り、番号4の球を1通り選ぶ。$(1,2,3)$ は番号1の球を $n$ 通り、番号2の球を2通り、番号3の球を1通り選ぶ。従って有利な選び方は $$\displaystyle \binom n2+2n=\frac{n(n+3)}2$$ 通り。全体の選び方 $\displaystyle \binom{n+4}{3}$ 通りで割ると $$\displaystyle P=\frac{\binom n2+2n}{\binom{n+4}{3}} =\frac{3n}{(n+4)(n+2)}.$$

全体n+4個のうち、1以外は4個。 (1) 余事象「1が1個も出ない」は、1以外の4個から2個選ぶ場合なので確率は C(4,2)/C(n+4,2)=12/((n+4)(n+3))。求める値はその余事象。 (2) 球1個の番号の合計は n+2·2+3+4=n+11。無作為に選んだ2個の各々の期待値は母平均$\displaystyle \frac{n+11}{n+4}$だから、線形性より合計の期待値は$\displaystyle \frac{2(n+11)}{n+4}$。 (3) 合計6となる組の番号は(1,1,4)または(1,2,3)。前者はC(n,2)通り、後者は2n通り（2の球の選択が2通り）。よって有利な組は n(n−1)/2+2n=n(n+3)/2。全組はC(n+4,3)通りなので確率は [n(n+3)/2]/C(n+4,3)=3n/((n+4)(n+2))。