4宮崎大学 2010年 数学 第4問解答・解説

原文・対象確認

数学・範囲の点検

(1) 部分積分すると $\displaystyle \int \log x\,dx=x\log x-x$。上端で $\log\sqrt e=1/2$、下端で $\log1=0$ だから $I_1=1-\sqrt e/2$。

(2) $u=(\log x)^{n+1}, dv=dx$ として部分積分する。境界項は $[x(\log x)^{n+1}]_1^{\sqrt e}=\sqrt e(1/2)^{n+1}$ で、残る積分は $(n+1)I_n$。したがって $I_{n+1}=\sqrt e(1/2)^{n+1}-(n+1)I_n$。下端の境界項は0である。

(3) 数学的帰納法で確認する。$n=1$ の右辺は $1+\sqrt e(-1+1/2)=1-\sqrt e/2=I_1$。$n$ で成立すると仮定し、(2)へ代入すると、階乗だけの項は $-(n+1)(-1)^{n-1}n!=(-1)^n(n+1)!$。和の各 $m=0,\ldots,n$ の係数は $-(n+1)(-1)^{n-m}n!/m!=(-1)^{n+1-m}(n+1)!/m!$ となる。境界項 $(1/2)^{n+1}$ は、和の $m=n+1$ の項 $(-1)^0 (n+1)!/(n+1)!(1/2)^{n+1}$ そのもの。よって

$$\displaystyle I_{n+1}=(-1)^n(n+1)!+\sqrt e\sum\limits _{m=0}^{n+1}(-1)^{n+1-m}\frac{(n+1)!}{m!}\left(\frac12\right)^m,$$

が得られ、帰納法が閉じる。採用解説は初期値、漸化式の境界項、帰納段階での和の添字と係数を正しく扱っている。部分積分、定積分、階乗を用いた数学的帰納法で完結し、高校範囲内。

採用する解説