九州大学 2014年数学第3問解答・解説

数と式図形と方程式平面上の曲線と複素数平面

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1問題

九州大学2014年度第3問配点 50点

座標平面上の楕円 $\displaystyle \frac{(x+2)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{4}=1\tag{①}$ を考える。以下の問いに答えよ。

(1) 楕円①と直線 $y=x+a$ が交点をもつときの $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $|x|+|y|=1$ を満たす点 $(x,y)$ 全体がなす図形の概形をかけ。

(3) 点 $(x,y)$ が楕円①上を動くとき， $|x|+|y|$ の最大値，最小値とそれを与える $(x,y)$ をそれぞれ求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$3-2\sqrt5\le a\le3+2\sqrt5$ （端点では接する）
(2)
頂点(1,0),(0,1),(−1,0),(0,−1)をもつひし形の周。各辺は $x+y=1$ 、 $−x+y=1$ 、 $−x−y=1$ 、 $x−y=1$ の該当象限部分。
(3)
最大値 $3+2\sqrt5$ 、点 $\displaystyle \left(-2-\frac{8\sqrt5}{5},\ 1+\frac{2\sqrt5}{5}\right)$ 。最小値 $\sqrt3-1$ 、点 $(0,1-\sqrt3)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1)は直線を楕円に代入して判別式が $0$ 以上となる条件を解く。(2)は絶対値を符号ごとに外し4本の線分を得る。(3)は楕円を $x=-2+4u$ 、 $y=1+2v$ 、 $u^2+v^2=1$ と表し、符号を選ぶ恒等式で最大値を、内積の絶対値が二つのベクトルの長さの積以下になることから求める。最小は $m=|x|+|y|$ を半径とするひし形が楕円に初めて触れる値を、楕円式をひし形上で評価して証明する。

この問題で使う考え方

判別式による直線と楕円の交点条件
絶対値の符号場合分け
単位円への正規化と楕円の媒介変数表示
Cauchy–Schwarzの不等式
1変数関数の増減による最小値の下界

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