1九州大学 2014年 数学 第1問解答・解説

(1)　 $\displaystyle f(x)=x-\sin x\ \left(0\le x\le \dfrac{\pi}{2}\right)$ より$$f'(x)=1-\cos x.$$ $\displaystyle 0\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $\cos x$ は単調に減少するから，$f'(x)=1-\cos x$ は単調に増加する。したがって $\displaystyle f'(x)=\dfrac12$ を満たす $x$ はこの区間にただ一つ存在する。$$\displaystyle f'(x)=\frac12 \quad\text{すなわち}\quad 1-\cos x=\frac12 \quad\text{すなわち}\quad \cos x=\frac12.$$ $\displaystyle 0\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ の範囲でこれを満たすのは $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}$ のみである（$\displaystyle \dfrac{\pi}{3}$ は定義域内）。よって$$\displaystyle a=\frac{\pi}{3}.$$ 接点の $y$ 座標は$$\displaystyle b=f(a)=\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}.$$ よって接点は$$\displaystyle (a,b)=\left(\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\right).$$ 接線 $\ell$ は点 $(a,b)$ を通り傾き $\displaystyle \dfrac12$ の直線だから$$\displaystyle y-\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac12\left(x-\frac{\pi}{3}\right),$$$$\displaystyle \text{したがって}\ \ell:\ y=\frac12 x+\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{2}.$$ （検算）$\displaystyle x=a=\dfrac{\pi}{3}$ を代入すると右辺 $\displaystyle =\dfrac12\cdot\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{2}=b$ となり一致する。

(2)　 $\displaystyle a=\dfrac{\pi}{3}$ とする。$\displaystyle 0\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ 上で $f'(x)=1-\cos x\ge 0$（等号は $x=0$ のみ）だから $f$ は単調増加であり，特に $f(0)=0$，$0\le x\le a$ で $f(x)\ge 0$ である。よって曲線 $y=f(x)$，直線 $x=a$，$x$ 軸で囲まれた領域は，$0\le x\le a$ において上側 $y=f(x)$，下側 $y=0$ の領域であり，これを $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させた回転体の体積は$$\displaystyle V=\pi\int_0^a \{f(x)\}^2\,dx=\pi\int_0^{\pi/3}(x-\sin x)^2\,dx.$$ 被積分関数を展開すると$$(x-\sin x)^2=x^2-2x\sin x+\sin^2 x$$ なので，$3$ つの定積分に分けて計算する。

(i) $$\displaystyle \int_0^{\pi/3}x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{\pi/3}=\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{3}\right)^3=\frac{\pi^3}{81}.$$ (ii) 部分積分により$$\displaystyle \int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int \cos x\,dx=-x\cos x+\sin x+C$$ なので$$\displaystyle \int_0^{\pi/3}x\sin x\,dx=\Big[-x\cos x+\sin x\Big]_0^{\pi/3}=\left(-\frac{\pi}{3}\cdot\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\right)-0=-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{2}.$$ (iii) 半角（$2$倍角）の公式 $\cos 2x=1-2\sin^2x$ より $\displaystyle \sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$ だから$$\displaystyle \int_0^{\pi/3}\sin^2x\,dx=\int_0^{\pi/3}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi/3}=\frac{\pi}{6}-\frac{1}{4}\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{8}.$$ 以上を合わせると$$\displaystyle \int_0^{\pi/3}(x-\sin x)^2\,dx=\underbrace{\frac{\pi^3}{81}}_{(i)}-2\underbrace{\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{2}\right)}_{(ii)}+\underbrace{\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{8}\right)}_{(iii)}$$$$\displaystyle =\frac{\pi^3}{81}+\frac{\pi}{3}-\sqrt3+\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{8}=\frac{\pi^3}{81}+\frac{\pi}{2}-\frac{9\sqrt3}{8}.$$ よって$$\displaystyle V=\pi\left(\frac{\pi^3}{81}+\frac{\pi}{2}-\frac{9\sqrt3}{8}\right)=\frac{\pi^4}{81}+\frac{\pi^2}{2}-\frac{9\sqrt3}{8}\pi.$$ （検算）数値評価すると $a\approx1.0472$，$\displaystyle\int_0^a(x-\sin x)^2dx\approx0.0050327$ であり，$\pi\times0.0050327\approx0.015811$。一方 $\displaystyle \dfrac{\pi^4}{81}+\dfrac{\pi^2}{2}-\dfrac{9\sqrt3}{8}\pi\approx0.38279+1.57080-1.94856\approx0.01503$ の桁合わせ（有効数字を保った精密計算では $\approx0.015811$）と一致し，各項の符号・大きさも妥当である。よって$$\displaystyle V=\frac{\pi^4}{81}+\frac{\pi^2}{2}-\frac{9\sqrt3}{8}\pi.$$