4九州大学 2014年 数学 第4問解答・解説

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A さんは 5 円硬貨を 3 枚持って投げる。表が出た枚数を $i$（$i=0,1,2,3$）とすると，独立な試行として $$\displaystyle P(i)=\binom{3}{i}\left(\frac12\right)^{3}=\frac{1}{8}\binom{3}{i}, \qquad P(0)=\frac18,\ P(1)=\frac38,\ P(2)=\frac38,\ P(3)=\frac18 .$$ このときAさんの表の合計金額は $5i$ 円，裏の合計金額は $5(3-i)$ 円である（表と裏の合計は常に $5\times3=15$ 円）。

B さんは 5 円硬貨 1 枚と 10 円硬貨 1 枚を独立に投げる。2 枚の表裏の出方は $$(5\text{円},10\text{円})=(表,表),\,(表,裏),\,(裏,表),\,(裏,裏)$$ の 4 通りで，同様に確からしく各確率 $\displaystyle \dfrac14$ である。このときBさんの表の合計金額はそれぞれ $15,5,10,0$ 円になる。すなわちBさんの表の合計金額を $5m$ とおくと，$m$ は $0,1,2,3$ の値を等確率 $\displaystyle \dfrac14$ でとる（Bさんの持ち金の合計は $5+10=15$ 円なので，裏の合計金額は $15-5m$ 円）。

（注）Aさんの表の枚数 $i$ の分布は二項分布 $\displaystyle \mathrm{B}\!\left(3,\frac12\right)$ であるのに対し，Bさんの硬貨は額面が異なるため $m$ の分布は二項分布ではなく一様分布になる。ただし，どちらの表の合計金額も $5\times\{0,1,2,3\}$ の形になるため，指数 $i$ と $m$ をそのまま比較すればよい。

(1) $p$，$q$ を求める

Aさんの勝ちは $5i>5m$，すなわち $i>m$ のとき，引き分けは $i=m$ のときである。$i$ と $m$ は独立だから，同時確率は $\displaystyle P(i)\cdot\dfrac14$ である。

$p=P(i>m)$ を $m$ ごとにまとめる。

・ $m=0$：$i=1,2,3$ より $\displaystyle P(i>0)=\dfrac38+\dfrac38+\dfrac18=\dfrac78$

・ $m=1$：$i=2,3$ より $\displaystyle \dfrac38+\dfrac18=\dfrac48=\dfrac12$

・ $m=2$：$i=3$ より $\displaystyle \dfrac18$

・ $m=3$：該当する $i>3$ はないので $0$

$$\displaystyle p=\frac14\left(\frac78+\frac12+\frac18+0\right) =\frac14\cdot\frac{7+4+1+0}{8} =\frac14\cdot\frac{12}{8}=\frac{12}{32}=\frac38 .$$

引き分けの確率は $$\displaystyle q=P(i=m)=\frac14\bigl(P(0)+P(1)+P(2)+P(3)\bigr)=\frac14\cdot1=\frac14 .$$

（検算）Bさんが勝つ確率を $r=P(i<m)$ とすると，全事象を尽くすので $p+q+r=1$ より $\displaystyle r=1-\dfrac38-\dfrac14=\dfrac38$。実際に $r$ を同様の方法（$i$ ごとに $m>i$ を数える）で計算しても $$\displaystyle r=\frac14\left(0+\frac18+\frac48+\frac78\right)=\frac14\cdot\frac{12}{8}=\frac38$$ となり一致する。したがって $$\displaystyle \boxed{p=\frac38,\qquad q=\frac14 .}$$

(2) 期待値 $E$ を求める

ゲーム終了後にAさんが持つ金額を $A_{\text{final}}$ とする。Aさんは最初 $15$ 円（$5$ 円硬貨 $3$ 枚）を持つ。ルールより：

・ Aさんが勝つ（$i>m$）とき：Aさんは自分の硬貨をすべて保持したまま，Bさんの裏の硬貨（合計 $15-5m$ 円）を受け取る。 $$A_{\text{final}}=15+(15-5m)=30-5m .$$

・ 引き分け（$i=m$）のとき：やりとりなし。 $$A_{\text{final}}=15 .$$

・ Bさんが勝つ（$i<m$）とき：Aさんは自分の裏の硬貨（合計 $5(3-i)$ 円）をBさんに渡し，表の硬貨だけが残る。 $$A_{\text{final}}=15-5(3-i)=5i .$$

期待値は $$\displaystyle E=\sum\limits _{i=0}^{3}\sum\limits _{m=0}^{3}P(i)\cdot\frac14\cdot A_{\text{final}}(i,m) =\frac14\sum\limits _{i=0}^{3}P(i)\left(\sum\limits _{m=0}^{3}A_{\text{final}}(i,m)\right).$$

$i$ ごとに $m=0,1,2,3$ に対する $A_{\text{final}}$ を求めて和をとる。

・ $i=0$：$m=0$ は引き分けで $15$；$m=1,2,3$ はBさんの勝ちで $5i=0$。和 $=15+0+0+0=15$。

・ $i=1$：$m=0$ はAさんの勝ちで $30-5\cdot0=30$；$m=1$ は引き分けで $15$；$m=2,3$ はBさんの勝ちで $5\cdot1=5$。和 $=30+15+5+5=55$。

・ $i=2$：$m=0,1$ はAさんの勝ちで $30,\,25$；$m=2$ は引き分けで $15$；$m=3$ はBさんの勝ちで $10$。和 $=30+25+15+10=80$。

・ $i=3$：$m=0,1,2$ はAさんの勝ちで $30,\,25,\,20$；$m=3$ は引き分けで $15$。和 $=30+25+20+15=90$。

したがって $$\displaystyle E=\frac14\left(\frac18\cdot15+\frac38\cdot55+\frac38\cdot80+\frac18\cdot90\right) =\frac14\cdot\frac{15+165+240+90}{8} =\frac14\cdot\frac{510}{8} =\frac14\cdot\frac{255}{4} =\frac{255}{16}\ (\text{円}).$$

（検算：金額保存）どの場合分けでも硬貨は移動するだけで消滅しないから，Aさん・Bさんの手持ち金額の合計は常に $15+15=30$ 円である。実際 $$\text{Aさん勝ち}:\ (30-5m)+5m=30,\qquad \text{引き分け}:\ 15+15=30,\qquad \text{Bさん勝ち}:\ 5i+(30-5i)=30$$ となり整合する。この対称性から $\displaystyle E[B_{\text{final}}]=30-E=30-\dfrac{255}{16}=\dfrac{225}{16}$ となるはずである。$B_{\text{final}}$（Aさんが勝てば $B_{\text{final}}=5m$，引き分けなら $15$，Bさんが勝てば $B_{\text{final}}=30-5i$）についても同様の表計算を行うと $$i=0:105,\quad i=1:65,\quad i=2:40,\quad i=3:30$$ （各 $i$ について $m=0,1,2,3$ の和）となり， $$\displaystyle E[B_{\text{final}}]=\frac14\left(\frac18\cdot105+\frac38\cdot65+\frac38\cdot40+\frac18\cdot30\right) =\frac14\cdot\frac{450}{8}=\frac{225}{16}$$ となって一致し，検算がとれた。

$$\displaystyle \boxed{E=\frac{255}{16}\ \text{円}\ \left(=15.9375\ \text{円}\right).}$$