5九州大学 2014年 数学 第5問解答・解説

$n\ge2$ とし $\displaystyle f_n(x)=\prod\limits _{i=1}^{n}(ix-1)$ とおく。$j=1,\ldots,n$ に対し $$\displaystyle f_n(x)=(jx-1)Q_j(x),\qquad Q_j(x)=\prod\limits _{i\ne j}(ix-1)$$ と書けば、積の微分法から $$\displaystyle f_n'\!\left(\frac1j\right)=jQ_j\!\left(\frac1j\right) =\frac{j}{j^{n-1}}\prod\limits _{i\ne j}(i-j) =(-1)^{j-1}j^{2-n}(j-1)!(n-j)!.$$ 最後の積では、$i<j$ の因子が $(-1)^{j-1}(j-1)!$、$i>j$ の因子が $(n-j)!$ となる。よって $f_n'(1/j)$ の符号は $(-1)^{j-1}$ である。

任意の $k=1,\ldots,n-1$ について、区間の両端 $1/(k+1)$ と $1/k$ で $f_n'$ の符号は反対になる。多項式 $f_n'$ は連続なので、中間値の定理よりその間に $f_n'(c_k)=0$ となる点 $c_k$ が少なくとも1つある。これらの区間は互いに重ならず、$c_1,\ldots,c_{n-1}$ は異なる $n-1$ 個の根である。一方 $f_n'$ は次数 $n-1$ なので、これ以外の根はなく、各根は単根である。従って $f_n'$ は各 $c_k$ の前後で符号を変え、$f_n$ はその点で極大または極小となる。各区間にそのような点はただ1つだから、示された。