3浜松医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) $\displaystyle H_N=\sum\limits _{k=1}^N1/k$、$H_0=0$ とおく。偶数番目の項の符号を反転することに注意すれば $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{2m}\frac{(-1)^{k-1}}k=H_{2m}-2\sum\limits _{j=1}^m\frac1{2j}=H_{2m}-H_m=\sum\limits _{k=1}^m\frac1{m+k}.$$ 奇数の場合も $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{2m-1}\frac{(-1)^{k-1}}k=H_{2m-1}-H_{m-1}=\sum\limits _{k=1}^m\frac1{m-1+k}.$$

(2) 偶数番目までの部分和は $$\displaystyle \frac1m\sum\limits _{k=1}^m\frac1{1+k/m}\longrightarrow\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\log2.$$ 奇数番目までの部分和との差は $1/(2m)\to0$ だから、全体としても $\log2$ に収束する。

(3) 並べ替え後の第 $3m$ 項までの部分和は、正の項 $1,1/3,\ldots,1/(2m-1)$ と負の項 $-1/2,-1/4,\ldots,-1/(4m)$ を含む。従って $$\displaystyle T_{3m}=H_{2m}-\tfrac12H_m-\tfrac12H_{2m}=\tfrac12(H_{2m}-H_m)\longrightarrow\tfrac12\log2.$$ $T_{3m+1}-T_{3m}=1/(2m+1)$、$T_{3m+2}-T_{3m}=1/(2m+1)-1/(4m+2)$ はどちらも0に近づく。よって途中で切った部分和も同じ極限を持ち、求める和は $\displaystyle \tfrac12\log2$。

(4) 有限個の数の和は順序を入れ替えても変わらない。しかし無限個の数の和は部分和の極限として定めるため、順序を入れ替えると和が変わることがある。この問題はその具体例である。

検算：$m=1$ で $\displaystyle T_3=1-1/2-1/4=1/4=\tfrac12(H_2-H_1)$ となる。(1)の $n=1,2$ もそれぞれ1、1/2と一致する。