1大阪大学 2014年 数学 第1問解答・解説

解答 $$\boxed{ad-bc\ne0\quad\text{または}\quad e=0\quad\text{または}\quad b=d=0}$$ が必要十分条件である（ただし、問題文のとおり $A,B\ne O$ とする）。

成分で表すと、求める実数 $s,t$ の条件は $$as+ct=e,\qquad bs+dt=0$$ である。$\Delta=ad-bc$ とおく。

まず $\Delta\ne0$ のとき、上の二式から $$\displaystyle s=\frac{ed}{\Delta},\qquad t=-\frac{eb}{\Delta}$$ と定めれば両式を満たす。したがって、この場合は常に解が存在する。

次に $\Delta=0$ とする。$A\ne O$ なので、$a\ne0$ なら $d=bc/a$ より $$\displaystyle B=\left(c,\frac{bc}{a}\right)=\frac ca A.$$ また $a=0$ なら $b\ne0$ であり、$\Delta=-bc=0$ から $c=0$ だから $$\displaystyle B=(0,d)=\frac db A.$$ いずれも $B\ne O$ より比例定数は $0$ でない。よって $B=kA$（$k\ne0$）と書け、左辺は $(s+kt)A$ となる。

$e=0$ なら $s=t=0$ でよい。$e\ne0$ の場合、$(s+kt)A=(e,0)$ となるには $s+kt\ne0$ であり、したがって $A$ の第2成分は $b=0$ でなければならない。$B=kA$ から $d=0$ も従う。

逆に $b=d=0$ なら、$A\ne O$ より $a\ne0$ なので $s=e/a,\ t=0$ とできる。また $e=0$ の場合は常に $s=t=0$ とできる。以上から必要十分条件は $$ad-bc\ne0\quad\text{または}\quad e=0\quad\text{または}\quad b=d=0$$ である。