3香川大学 2021年 数学 第3問解答・解説

R=(x,y,0)とおく。PからRに向かう直線を $$X(t)=P+t(R-P)=(tx,\ 1+t(y-1),\ 2-2t)$$ と表す。Qが球面上にあるための条件を代入すると $$(tx)^2+\{1+t(y-1)\}^2+(1-2t)^2=1,$$ すなわち、$A=x^2+(y-1)^2+4>0$ として $$At^2+2(y-3)t+1=0$$ を得る。この二次方程式が実数解をもつ条件は $$(y-3)^2-A\ge0 \quad\text{すなわち}\quad 4-x^2-4y\ge0,$$ したがって必要条件は $x^2+4y\le4$ である。

逆にこの不等式が成り立つと、二次方程式は実数解をもつ。また $y\le1$ なので解の和 $2(3-y)/A$ と積 $1/A$ はともに正であり、少なくとも一つ正の解 $t$ がある。その解について $X(t)$ は球面上にある。球面上の点の $z$ 座標は $0\le z\le2$ だから、$z=2-2t$ より $0<t\le1$。よって $X(t)$ は線分 $PR$ 上の球面点 $Q$ であり、その直線は $xy$ 平面と $R$ で交わる。したがって条件は十分でもある。

以上より、求める領域は $$\boxed{x^2+4y\le4}.$$ 境界は頂点 $(0,1)$、$x$ 切片 $(-2,0),(2,0)$ の放物線 $y=1-x^2/4$ で、その線上および下側を図示する。