3東京大学 2018年 数学 第3問解答・解説

$P=(u,u^2)$（$-1\le u\le1$）、$Q=(t,0)$（$0\le t\le1$）とおくと、ベクトルの関係から $$\displaystyle R=(X,Y)=\left(\frac{u}{k}+kt,\frac{u^2}{k}\right).$$ $s=|u|$ とおけば高さは $Y=s^2/k$。その高さで $X$ が動く区間は、$u=s$ のとき $$s/k≤X≤s/k+k,$$ $u=-s$ のとき $$-s/k≤X≤-s/k+k.$$ $2s/k\le k$、すなわち $s\le k^2/2$ なら2区間は重なり、和集合の幅は $k+2s/k$。それ以外は離れていて幅の合計が $2k$。また $dY=(2s/k)ds$ である。 $0<k\le\sqrt2$ なら境目 $s=k^2/2$ が1以下なので $$\displaystyle \begin{aligned} S(k) &=\int_0^{k^2/2}\left(k+\frac{2s}{k}\right)\frac{2s}{k}ds +\int_{k^2/2}^1 2k\frac{2s}{k}ds\\ &=\frac{5k^4}{12}+2-\frac{k^4}{2} =2-\frac{k^4}{12}. \end{aligned}$$ $k\ge\sqrt2$ なら全ての高さで区間が重なるから $$\displaystyle S(k)=\int_0^1\left(k+\frac{2s}{k}\right)\frac{2s}{k}ds =1+\frac{4}{3k^2}.$$ 両式は $k=\sqrt2$ で $5/3$ と一致する。従って $$\displaystyle \lim\limits _{k\to+0}S(k)=2,\qquad \lim\limits _{k\to\infty}S(k)=1.$$