1群馬大学 2013年 数学 第1問解答・解説

二項定理で $$\displaystyle 201^{20}=(1+200)^{20} =\sum\limits _{k=0}^{20}\binom{20}{k}200^k$$ と展開する。

(1) 十億の位は $10^9$ の位なので、まず $10^{10}$ を法とする余りを求める。$200^5=32\cdot10^{10}$ より、$k\ge5$ の項はすべて $10^{10}$ の倍数である。$k=0,1,2,3,4$ の項はそれぞれ $$1,\quad 4\,000,\quad 7\,600\,000,\quad 9\,120\,000\,000,\quad 7\,752\,000\,000\,000.$$ 最後の項は $10^{10}$ を法として $2\,000\,000\,000$ に合同だから $$201^{20}\equiv 1+4\,000+7\,600\,000+9\,120\,000\,000+2\,000\,000\,000 \equiv1\,127\,604\,001\pmod{10^{10}}.$$ ここで $$1\,127\,604\,001=1\cdot10^9+127\,604\,001,\qquad 0\le127\,604\,001<10^9.$$ したがって十億の位の数字は $\boxed{1}$。

(2) $200^4=1\,600\,000\,000=40(4\cdot10^7)$ なので、$k\ge4$ の項は $4\cdot10^7$ の倍数である。従って $$\begin{aligned} 201^{20} &\equiv 1+4\,000+7\,600\,000+9\,120\,000\,000\\ &=9\,127\,604\,001\\ &=228(40\,000\,000)+7\,604\,001 \pmod{4\cdot10^7}. \end{aligned}$$ $0\le7\,604\,001<4\cdot10^7$ より、求める余りは $\boxed{7\,604\,001}$。