5群馬大学 2013年 数学 第5問解答・解説

動円の中心を $Q$ とすると、外接条件から $OQ=2+1=3$ であり、 $$Q=(3\cos\theta,\,3\sin\theta)$$ である。中心が微小角 $d\theta$ 進む距離は $3d\theta$。無滑りより、半径 $1$ の動円の自転角の大きさは $3d\theta$ となる。初めに中心は上向きに進み、接点を静止させるには動円の左端が下向きに動く必要があるので、自転は反時計回りである。したがって初期位置からの自転角は $\phi=3\theta$ である。初期の相対位置 $\overrightarrow{QP}=(-1,0)$ をこの角だけ回転させると $$\overrightarrow{QP}=(-\cos3\theta,\,-\sin3\theta).$$ よって $$\displaystyle x=3\cos\theta-\cos3\theta,\qquad y=3\sin\theta-\sin3\theta \quad\left(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\right).$$ 三倍角の公式により $$x=6\cos\theta-4\cos^3\theta,\qquad y=4\sin^3\theta.$$ これが (1) の媒介変数表示である。

(2) では $\displaystyle 4\sin^3\theta=\frac12$。$\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ で $\sin\theta$ は単調増加するから $$\displaystyle \sin\theta=\frac12,\qquad \theta=\frac{\pi}{6}.$$ また $$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=-3\sin\theta+3\sin3\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=3\cos\theta-3\cos3\theta$$ なので、$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$ では $$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\frac32,\qquad \frac{dy}{d\theta}=\frac{3\sqrt3}{2}.$$ したがって接線の傾きは $$\displaystyle \frac{dy}{dx} =\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} =\sqrt3.$$

(3) の速さは、$s=\sin\theta,\ c=\cos\theta$ とおくと $$\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+ \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} &=6s\sqrt{(c^2-s^2)^2+4s^2c^2}\\ &=6s\sqrt{(c^2+s^2)^2} =6\sin\theta, \end{aligned}$$ である。区間では $\sin\theta\geq0$ だから $$\displaystyle L=\int_0^{\pi/2}6\sin\theta\,d\theta=6.$$