群馬大学 2013年数学第2問解答・解説

ベクトル微分法

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1問題

群馬大学2013年度第2問

空間内に4点A(2,0,2), B(6,0,0), C(4,2,2), D(5,1,7)がある.

(1) 3 点 A, B, C を含む平面を α とし, 点 D から α に下ろした垂線と α の交点を H とする. 点 E を, H が線分 DE の中点となるようにとるとき, E の座標を求めよ.

(2) 0 < t < 1 とする. 線分 AB を t : 1 - t に内分する点を P, 線分 BC を $t^{2} : 1 - t^{2}$ に内分する点を Q, 線分 CD の中点を R とするとき, 四面体 BPQR の体積の最大値を求めよ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $E=(1,5,-1)$ 。 $\displaystyle \text{(2) 最大体積 }\frac{16}{27},\quad t=\frac23$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $\overrightarrow{AB}=(4,0,-2)$ 、 $\overrightarrow{AC}=(2,2,0)$ に垂直な法線として $\boldsymbol n=(1,-1,2)$ が取れる。点Aを通るので平面は $x-y+2z=6.$ Dを左辺に代入すると値は $12$ 、 $|\boldsymbol n|^2=6$ 。よって垂線の足は $\displaystyle H=D-\frac{12}{6}\boldsymbol n=(3,3,3).$ HはDEの中点だから $E=2H-D=(1,5,-1)$ 。 (2) 内分の比より $\overrightarrow{BP}=(1-t)\overrightarrow{BA}$ 、 $\overrightarrow{BQ}=t^2\overrightarrow{BC}$ 。ここで $|BA|=2\sqrt5,\quad |BC|=2\sqrt3,\quad BA\cdot BC=12, \quad \sin\angle ABC=\sqrt{1-(3/\sqrt{15})^2}=\sqrt{2/5}.$ 従って $[BPQ]=2\sqrt6\,t^2(1-t)$ 。RはCDの中点 $R=(9/2,3/2,9/2)$ であり、平面ABCからの距離は $|9/2-3/2+2(9/2)-6|/\sqrt6=\sqrt6$ 。したがって $\displaystyle V(t)=\frac13[BPQ]\sqrt6=4t^2(1-t).$ $V'(t)=4t(2-3t)$ は $0<t<2/3$ で正、 $2/3<t<1$ で負。ゆえに最大は $t=2/3$ のときで $V(2/3)=16/27.$

この問題で使う考え方

平面の法線ベクトル
点と平面の距離
体積を一変数関数で表す

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