本文へ進む
検索
メニュー
医学部数学 過去問DB問題を探す

群馬大学／2013年度

群馬大学 2013年 数学 第3問解答・解説

図形と方程式三角関数

このページには広告が含まれます。

1問題

群馬大学2013年度第3問

座標平面において, 原点 O を中心とする半径 1 の円周 C 上に定点 A(-1,0), B(1,0) をとる. C の上半円周 (y 座標が正の部分) 上を動く点を P, 下半円周 (y 座標が負の部分) 上を動く点を Q とする. ∠PAB=α(0<α<π2)\displaystyle \angle PAB = \alpha \quad (0 < \alpha < \frac{\pi}{2}) , ∠QAB=β(0<β<π2)\displaystyle \angle QAB = \beta \quad (0 < \beta < \frac{\pi}{2}) とし, 直線 PQ と x 軸との交点を R(t,0) とする.

(1) t を α,β\alpha, \beta を用いて表せ.

(2) α+β=π4\displaystyle \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} のとき, t のとり得る値の範囲を求めよ.

(3) 線分 PR の長さと線分 RQ の長さの比が 2:1 のとき, t を α を用いて表せ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) t=cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)\displaystyle t=\frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}。 (2) 22≦t<1\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}\le t<1。 (3) t=cos⁡(2α)±4−sin⁡2(2α)3\displaystyle t=\frac{\cos(2\alpha)\pm\sqrt{4-\sin^2(2\alpha)}}{3}。正号は β<π4\displaystyle \beta<\frac\pi4、負号は β>π4\displaystyle \beta>\frac\pi4。条件は両方のβ\betaを許すため、2通りある。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) OA=OP=1 で AO と AB は同じ向きだから ∠OAP=α. 二等辺三角形 OAP より ∠AOP=π−2α なのでP=(cos⁡2α,sin⁡2α). 同様に Q=(cos⁡2β,−sin⁡2β). R=(1−λ)P+λQ とおくと λ=PR/PQ であり、Ry=0 よりλ=sin⁡2αsin⁡2α+sin⁡2β. よってt=cos⁡2αsin⁡2β+cos⁡2βsin⁡2αsin⁡2α+sin⁡2β=sin⁡2(α+β)2sin⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡(α+β)cos⁡(α−β).(2) δ=α−β とおくと −π4<δ<π4 であり、t=cos⁡(π/4)cos⁡δ=12cos⁡δ. 2/2<cos⁡δ≦1 だから 22≦t<1.(3) PRRQ=λ1−λ=sin⁡2αsin⁡2β=2 より sin⁡2β=12sin⁡2α. 0<2β<π なので、この方程式は β=12arcsin⁡(12sin⁡2α) または β=π2−12arcsin⁡(12sin⁡2α) の二解をもつ。cos⁡2β=±1−14sin⁡22α. また λ=2/3 より R=(P+2Q)/3 だからt=cos⁡2α+2cos⁡2β3=cos⁡2α±4−sin⁡22α3. 正号は β<π/4、負号は β>π/4 に対応し、条件が両方を許す。\displaystyle \text{(1) }OA=OP=1\text{ で }AO\text{ と }AB\text{ は同じ向きだから }\angle OAP=\alpha.\text{ 二等辺三角形 }OAP\text{ より }\angle AOP=\pi-2\alpha\text{ なので} P=(\cos2\alpha,\sin2\alpha). \text{ 同様に }Q=(\cos2\beta,-\sin2\beta).\text{ }R=(1-\lambda)P+\lambda Q\text{ とおくと }\lambda=PR/PQ\text{ であり、}R_y=0\text{ より} \lambda=\frac{\sin2\alpha}{\sin2\alpha+\sin2\beta}. \text{ よって} t=\frac{\cos2\alpha\sin2\beta+\cos2\beta\sin2\alpha}{\sin2\alpha+\sin2\beta} =\frac{\sin2(\alpha+\beta)}{2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)} =\frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}. \\[4pt] \text{(2) }\delta=\alpha-\beta\text{ とおくと }-\frac\pi4<\delta<\frac\pi4\text{ であり、} t=\frac{\cos(\pi/4)}{\cos\delta}=\frac{1}{\sqrt2\cos\delta}. \text{ }\sqrt2/2<\cos\delta\le1\text{ だから } \frac{\sqrt2}{2}\le t<1. \\[4pt] \text{(3) }\frac{PR}{RQ}=\frac{\lambda}{1-\lambda} =\frac{\sin2\alpha}{\sin2\beta}=2\text{ より }\sin2\beta=\frac12\sin2\alpha. \text{ }0<2\beta<\pi\text{ なので、この方程式は }\beta=\frac12\arcsin\left(\frac12\sin2\alpha\right) \text{ または }\beta=\frac\pi2-\frac12\arcsin\left(\frac12\sin2\alpha\right)\text{ の二解をもつ。} \cos2\beta=\pm\sqrt{1-\frac14\sin^22\alpha}. \text{ また }\lambda=2/3\text{ より }R=(P+2Q)/3\text{ だから} t=\frac{\cos2\alpha+2\cos2\beta}{3} =\frac{\cos2\alpha\pm\sqrt{4-\sin^22\alpha}}{3}. \text{ 正号は }\beta<\pi/4\text{、負号は }\beta>\pi/4\text{ に対応し、条件が両方を許す。}

この問題で使う考え方

  • 三角関数の加法定理
  • 一般角と弧度法
  • 内分・外分点
  • 三角関数の周期・グラフ
  • 三角関数の相互関係

PR

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。