1大阪大学 2017年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} &H:x^2-y^2=1,\quad C=(s,t),\quad t\ne0\quad\text{ならば}\quad t^2=(s-1)(s+1),\\ &s\ne0,\quad s\ne1,\quad s\ne-1.\\ &\text{双曲線 }H\text{ 上の点 }(u,v)\text{ における接線は }ux-vy=1,\\ &\text{したがって }A\text{ で }x=-1,\quad B\text{ で }x=1,\quad C\text{ で }sx-ty=1.\\[2pt] \text{(1)}\quad & BC:y=\frac{t}{s-1}(x-1),\\ & P=\left(-1,-\frac{2t}{s-1}\right)=\left(-1,-\frac{2(s+1)}{t}\right).\\[2pt] \text{(2)}\quad & AB:y=0,\quad sx-ty=1\quad\text{ならば}\quad Q=\left(\frac1s,0\right).\\[2pt] \text{(3)}\quad & AC:y=\frac{t}{s+1}(x+1),\\ & R=\left(1,\frac{2t}{s+1}\right)=\left(1,\frac{2(s-1)}t\right).\\ & y=\frac{2s}{t}\left(x-\frac1s\right)\text{ に }x=\frac1s,-1,1\text{ を代入すると、それぞれ}\ Q,P,R\text{ の }y\text{ 座標。}\\ &\text{したがって}\ P,Q,R\text{ は一直線上にある。} \end{aligned}$$

点 $C(s,t)$ が双曲線 $H$ 上にあることと $t\ne0$ から $t^2=(s-1)(s+1)$、よって $s,s-1,s+1$ はすべて0でない。双曲線上の点 $(u,v)$ における接線は $ux-vy=1$。これを各点の接線と直線 $BC,AB,AC$ に用いると $P=(-1,-2(s+1)/t)$、$Q=(1/s,0)$、$R=(1,2(s-1)/t)$。いずれも $y=(2s/t)(x-1/s)$ 上にあり、共線が従う。