3大阪大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) $a,b$ は自然数なので $a/b+\sqrt7>0$ である。(A) より $a/b<\sqrt7+2/b^4$ だから、$b\ge2$ のとき $$\displaystyle \left|\frac ab+\sqrt7\right|=\frac ab+\sqrt7<2\sqrt7+\frac2{b^4}\le2\cdot2.646+\frac18=5.417<6.$$ (2) (1) と (A) を掛けると $$\displaystyle 0<|a^2-7b^2|=b^2\left|\frac ab-\sqrt7\right|\left(\frac ab+\sqrt7\right)<\frac{12}{b^2}.$$ 左辺は $\sqrt7$ の無理性により0でない整数なので $b^2<12$、従って $b=2,3$ である。$b=2$ なら $0<|a^2-28|<3$ より $a^2$ は $26,27,29,30$ のいずれかとなるが、該当する平方数はない。$b=3$ なら $0<|a^2-63|<4/3$ より $a^2=62$ または64であり、前者は平方数でないので $a=8$ を得る。最後に $$\displaystyle \left|\frac83-\sqrt7\right|=\frac{1}{9(8/3+\sqrt7)}<\frac{1}{9(8/3+2.645)}<\frac2{81},$$ したがって $(a,b)=(8,3)$ は条件を満たす。