4名古屋大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1) $n$ は自然数なので $M$ は空でない。$a\in M$ を取ると、条件 (II), (III) より $$\displaystyle 1=a\cdot\frac1a\in M,\qquad -1=(-a)\cdot\frac1a\in M.$$

(2) 写像 $z\mapsto -z$ は $M$ を $M$ に移し、2回施すと $z$ に戻る。$z=-z$ なら $2z=0$ となるが、$z\ne0$ だからそのような元はない。したがって $M$ は $\{z,-z\}$ という2個ずつの組に分かれ、$n$ は偶数である。

(3), (4) に使う事実を示す。$\displaystyle P=\prod\limits _{x\in M}x$ とおくと、すべての元は0でないので $P\ne0$ である。任意の $a\in M$ に対して写像 $x\mapsto ax$ は (III) で $M$ から $M$ への写像となり、$a\ne0$ より1対1である。$M$ は有限だからこの写像は $M$ の置換であり、 $$\displaystyle P=\prod\limits _{x\in M}(ax)=a^nP.$$ よって $a^n=1$ であり、$M$ のすべての元は方程式 $x^n=1$ の解である。

$n=4$ のとき $$x^4-1=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)$$ だから $M\subset\{1,-1,i,-i\}$ である。両集合の要素数は4なので $$\boxed{M=\{1,-1,i,-i\}}.$$ この4個はすべて $x^4=1$ の解であり、積・逆数・符号反転でも同じ集合に入る。

$n=6$ のとき $$x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1).$$ したがって $x^6=1$ の解は $$\displaystyle 1,\ -1,\ \frac{-1+i\sqrt3}{2},\ \frac{-1-i\sqrt3}{2},\ \frac{1+i\sqrt3}{2},\ \frac{1-i\sqrt3}{2}$$ の6個である。$M$ はこれらの解からなり、要素数も6だから $$\displaystyle \boxed{M=\left\{1,-1,\frac{-1+i\sqrt3}{2},\frac{-1-i\sqrt3}{2},\frac{1+i\sqrt3}{2},\frac{1-i\sqrt3}{2}\right\}}.$$ これらの6個はすべて $x^6=1$ の解であり、積・逆数・符号反転でも $x^6=1$ が保たれるので条件を満たす。以上より各場合に $M$ は一通りに定まる。