宮崎大学 2017年数学第3問解答・解説

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1問題

宮崎大学2017年度第3問

数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ を $a_n=86n+3,\quad b_n=65n+4\quad(n=1,2,3,\ldots)$ で定義する。このとき，次の各問に答えよ。

(1) 次の①～③を満たす0または正の整数 $a,b,c$ を求めよ。 $\begin{aligned} 86&=65\times1+a &&\text{①}\\ 65&=a\times3+b &&\text{②}\\ a&=b\times10+c &&\text{③} \end{aligned}$

(2) $a_k=b_\ell$ を満たす自然数 $k,\ell$ の組のうち，1組を求めよ。

(3) $a_k=b_\ell$ を満たす自然数 $k,\ell$ の組は無数にあり，それらを $(k,\ell)=(k_1,\ell_1),\ (k_2,\ell_2),\ (k_3,\ell_3),\ldots$ とする。ただし， $k_1<k_2<k_3<\cdots$ とする。数列 $\{c_n\}$ を $c_n=a_{k_n}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ で定義するとき， $c_n\geq10^{5}$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$a=21,b=2,c=1$
(2)
$(k,ℓ)=(31,41)$
(3)
$n=19$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 条件を順に使うと $a=86-65=21,\qquad b=65-3a=2,\qquad c=a-10b=1.$

(2) $a_k=b_\ell$ は $86k-65\ell=1$ と同値。互除法 $86=65+21,\quad65=3\cdot21+2,\quad21=10\cdot2+1$ を逆にたどると $1=31\cdot86-41\cdot65.$ したがって一組は $(k,\ell)=(31,41)$ 。実際、両辺の数列値は $2669$ 。

(3) 任意の解からこの解を引くと $86(k-31)=65(\ell-41)$ 。互除法により86と65は互いに素なので、 $k-31=65t,\ell-41=86t$ （整数 $t$ ）。自然数解は $t=0,1,2,\ldots$ で順に並び、 $k_n=31+65(n-1)$ 。ゆえに $c_n=86k_n+3=2669+5590(n-1).$ $c_n\ge100000$ は $5590(n-1)\ge97331$ 。 $5590\cdot17=95030<97331<100620=5590\cdot18$ より最小は $n-1=18$ 、したがって $n=19$ （ $c_{18}=97699,c_{19}=103289$ ）。

(1)の余りを順に確定し、(2)はユークリッドの互除法を逆代入して一組を求めた。(3)で全整数解を表し、自然数解の順序から閾値を判定した。

この問題で使う考え方

ユークリッドの互除法
一次不定方程式
等差数列

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