1東京医科歯科大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) $f_{102}=f_{101}+f_{100}=2f_{100}+f_{99}$ であり、$0<f_{99}<f_{100}$ だから $r_1=f_{99}$。また $f_{100}=f_{99}+f_{98}$ より $r_2=f_{98}$。以後、$2\le j\le97$ で $r_{j-1}=f_{101-j}$、$r_j=f_{100-j}$ なら、フィボナッチ数の漸化式と $0<f_{99-j}<f_{100-j}$ から $$r_{j+1}=R(r_{j-1},r_j)=R(f_{101-j},f_{100-j})=f_{99-j}.$$ したがって $r_j=f_{100-j}\ (1\le j\le98)$、特に $r_{98}=f_2=1$。さらに $$r_{99}=R(r_{97},r_{98})=R(f_3,f_2)=R(2,1)=0.$$ それ以前の余りは正なので、$N=99$。

(2) $a$ が $b$ で割り切れないので $r_1>0$、従って $N\ge2$。正の余りは $r_1>r_2>\cdots>r_{N-1}\ge1$ と減少する。よって $r_{N-1}\ge1=f_2$。$N\ge3$ なら $r_{N-2}>r_{N-1}$ なので $r_{N-2}\ge2=f_3$。また $1\le k\le N-3$ では、余りの定義よりある正整数 $q_k$ に対して $$r_k=q_kr_{k+1}+r_{k+2}\ge r_{k+1}+r_{k+2}.$$ これを末項から帰納的に用いると $r_k\ge f_{N+1-k}\ (1\le k\le N-1)$ を得る。特に $r_1\ge f_N$。$N=2$ の場合も $r_1\ge1=f_2$ で成立する。

(3) 漸化式から $$f_{n+5}=8f_n+5f_{n-1}.$$ $n=2$ では $f_{n-1}=f_n$。$n\ge3$ では $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\le2f_{n-1}$ なので、いずれも $f_{n-1}\ge f_n/2$。したがって $$\displaystyle f_{n+5}=8f_n+5f_{n-1}\ge\frac{21}{2}f_n>10f_n\qquad(n\ge2).$$

(4) (2) の評価を使い、添字を $j=N+1-k$ と置き換えると $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{N-1}\frac1{r_k}\le\sum\limits _{j=2}^{N}\frac1{f_j}<\sum\limits _{j=2}^{\infty}\frac1{f_j}.$$ (3) を繰り返すと、$m=2,3,4,5,6$、$\ell\ge1$ に対して $f_{m+5\ell}>10^\ell f_m$。よって各剰余類について $$\displaystyle \sum\limits _{\ell=0}^{\infty}\frac1{f_{m+5\ell}}<\frac1{f_m}\sum\limits _{\ell=0}^{\infty}\frac1{10^\ell}=\frac{10}{9f_m}.$$ ここで $f_2,f_3,f_4,f_5,f_6=1,2,3,5,8$ だから $$\displaystyle \sum\limits _{j=2}^{\infty}\frac1{f_j} =\sum\limits _{m=2}^{6}\sum\limits _{\ell=0}^{\infty}\frac1{f_{m+5\ell}} <\frac{10}{9}\left(1+\frac12+\frac13+\frac15+\frac18\right) =\frac{259}{108}.$$ 以上より所望の不等式が成り立つ。

余り列はFibonacci数列に下から抑えられる。5項ごとのFibonacci数の増加を用いて逆数和を5つの幾何級数に分けると、259/108より小さい。