2東京医科歯科大学 2018年 数学 第2問解答・解説

p.1は平成30年度数学（医学科）。p.7問2の球面、頂点4個、外接、体積と任意平面の条件を画像照合。

外側の球の半径を $s=\sqrt3-r$ とする。

(1) 中心間距離は $AB=2\sqrt2$。等半径の二球面が交わる条件は $2s\ge2\sqrt2$ なので、$r_1=\sqrt3-\sqrt2$。

(2) $r_1\le r\le1$ では外側4球の内部は互いに重ならず、中心球とも外接する。$s\le\sqrt2<2$ なので各外球の立方体内の部分は球の8分の1、中心球は全部が立方体内にある。従って $$\displaystyle V(r)=\frac{4\pi}{3}\left(r^3+\frac12(\sqrt3-r)^3\right).$$ 括弧内を $h(r)$ とすると、$\displaystyle h'=3r^2-\frac32(\sqrt3-r)^2$、$h''=3r+3\sqrt3>0$。唯一の最小点は $$\displaystyle r_2=\frac{\sqrt3}{1+\sqrt2}.$$ $r_2-r_1=\sqrt6+\sqrt2-2\sqrt3>0$ は $\sqrt6+\sqrt2>2\sqrt3$ を二乗して確かめられ、$r_2<1$ も $\sqrt3<1+\sqrt2$ より分かる。

(3) 単位ベクトル $\boldsymbol n$ を用いて平面を $\boldsymbol n\cdot\boldsymbol x=t$ と書く。頂点 $X$ の射影値を $\lambda_X=\boldsymbol n\cdot X$ とすると、平面と中心球の交差は $|t|\le r$、外球との交差は $|t-\lambda_X|\le s$ と同値である。

4頂点を結ぶ四面体は $$x+y+z\ge-1,\quad x-y-z\ge-1,\quad -x+y-z\ge-1,\quad -x-y+z\ge-1$$ の共通部分である。各頂点を代入すると対応する3平面上にあり、4平面が四面体の面を表すことが分かる。長さ $1/\sqrt3$ 以下のベクトルは、内積の不等式によりこの4条件を満たす。従って四面体は原点中心半径 $1/\sqrt3$ の球を含み、射影値の最小値は $-1/\sqrt3$ 以下、最大値は $1/\sqrt3$ 以上である。

射影値を小さい順に並べ、隣接する値の間で頂点を下側 $k$ 個と上側 $4-k$ 個に分ける。隣接差は上群平均から下群平均を引いた値以下で、さらに両群の重心間距離以下である。$k=1,3$ では全頂点の和が0なので重心間距離は $4\sqrt3/3$。$k=2$ では重心差は2頂点の和であり、異なる頂点の内積が $-1$ だからその長さは $\sqrt{3+3-2}=2$。よって隣接差は常に $4/\sqrt3$ 以下。

$|t|\le1/\sqrt3$ なら射影値の最小と最大の間にあるため、いずれかの隣接値までの距離はその間隔の半分以下、つまり $2/\sqrt3$ 以下である。$r=1/\sqrt3$ では $s=2/\sqrt3$ なので、全ての対象平面は外球のどれかにも交わる。

一方、$\boldsymbol n=(1,1,1)/\sqrt3,t=1/\sqrt3$ の平面は、4中心までの距離が全て $2/\sqrt3$。$r>1/\sqrt3$ なら中心球とは交わるが $s<2/\sqrt3$ なので外球全てと交わらない。従って $$\displaystyle \boxed{r_3=\frac1{\sqrt3}}.$$