1宮崎大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) 座標の差をとると、$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{B}-\mathrm{A}=(-1,1,0),\qquad \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{C}-\mathrm{A}=(-1,0,2).$$

(2) 3点を通る平面の方程式を $ax+by+cz=d$ とおく。点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ を代入すると $a=d,\ b=d,\ 2c=d$ である。ここで $d=2$ とすれば、平面の方程式は $$2x+2y+z=2$$ となる。その法線ベクトルは $\boldsymbol{n}=(2,2,1)$ である。$\mathrm{H}$ は垂線の足なので、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ はこの法線ベクトルに平行であり、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t\boldsymbol{n}$ とおける。$\mathrm{H}$ は平面上にあるから $2(2t)+2(2t)+t=2$、よって $9t=2$、$\displaystyle t=\frac29$ である。したがって $$\displaystyle \mathrm{H}\left(\frac49,\frac49,\frac29\right).$$

(3) 半直線 $\mathrm{OH}$ 上の点は $s\boldsymbol{n}\ (s\geq0)$ と表せる。これが球面 $S$ 上にあるとき、$(2s)^2+(2s)^2+s^2=1$、すなわち $9s^2=1$ である。$s\geq0$ より $\displaystyle s=\frac13$ なので、$$\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac23,\frac23,\frac13\right).$$ また $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HP}}=\left(\frac29,\frac29,\frac19\right)$ であるから、$$\displaystyle \mathrm{HP}=\sqrt{\left(\frac29\right)^2+\left(\frac29\right)^2+\left(\frac19\right)^2}=\frac13.$$ 確認すると、$\mathrm{P}$ は半直線 $\mathrm{OH}$ 上にあり、$\displaystyle \left(\frac23\right)^2+\left(\frac23\right)^2+\left(\frac13\right)^2=1$ を満たす。