3金沢医科大学 2022年 1日目 数学 第3問解答・解説

$D$ を原点とする相対座標を用いると $$\overrightarrow{DA}=(2,0,0),\qquad \overrightarrow{DB}=(0,1,0),\qquad \overrightarrow{DC}=(0,0,2).$$ したがって、平面 $\alpha$ の方程式は $x+2y+z=2$、法線ベクトルは $(1,2,1)$ である。$D$ から $\alpha$ への垂線ベクトルを $\lambda(1,2,1)$ とおくと、その先端が平面上にある条件から $6\lambda=2$、よって $\lambda=1/3$。

(1) 以上より $$\displaystyle \overrightarrow{DH}=\left(\frac13,\frac23,\frac13\right) =\frac{\overrightarrow{DA}+4\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}}6.$$ 従って $\boxed{\text{マ}=4,\ \text{ミ}=6}$。

(2) 元の座標に戻すと $$\displaystyle H=D+\overrightarrow{DH} =\left(-3+\frac13,-2+\frac23,1+\frac13\right) =\left(-\frac83,-\frac43,\frac43\right).$$

(3) 垂線の長さは $$\displaystyle DH=\sqrt{\left(\frac13\right)^2+\left(\frac23\right)^2+\left(\frac13\right)^2}=\frac{\sqrt6}{3}.$$

(4) 直線 $AH$ を $A+s(-5,2,1)$、直線 $BC$ を $B+u(0,-1,2)$ と表す。$x$ 座標から交点では $s=2/5$。さらに $y$ 座標から $u=1/5$ となり、 $$\displaystyle P=\left(-3,-\frac65,\frac75\right).$$ $\displaystyle P=B+\frac15(C-B)$ だから $\displaystyle BP=\frac15BC$、従って $\displaystyle CP=\frac45BC$。また $\displaystyle H=\frac16A+\frac46B+\frac16C$ である。三角形 $ABC$ の底辺を $BC$ と見ると、$H$ から $BC$ への高さは $A$ から $BC$ への高さの $1/6$ である。よって $$\displaystyle \frac{[CHP]}{[ABC]}=\frac{CP}{CB}\cdot\frac{h_H}{h_A}=\frac45\cdot\frac16=\frac2{15}.$$ 四面体 $DABC$ と $DCHP$ はいずれも底面が平面 $\alpha$ 上にあり、頂点 $D$ からの高さが共通の $DH$ である。ゆえに $V_2/V_1=[CHP]/[ABC]=2/15$、従って $V_1/V_2=15/2$.