I慶應義塾大学 2018年 数学 第I問解答・解説

(1) $x>0$ が対数の定義域である。また $\log_{1/a}(x/4)=-\log_a(x/4)$ なので不等式は $\displaystyle \log_a\frac{x(x+2a)}4<2$ と同値。$a>1$ より $x^2+2ax-4a^2<0$。$x>0$ の範囲では、$A(a)$は$0<x<a(\sqrt5-1)$を満たす実数x全体である。従って、A(a)のすべての要素が4より小さいための必要十分条件は$a(\sqrt5-1)\leq4$であり、$1<a\leq1+\sqrt5$。 (2) $2\vec a+3\vec b+4\vec c=\vec0$ の両辺に a を内積すると 2+3(a·b)+4(a·c)=0、b と内積すると 2(a·b)+3+4(b·c)=0。c=−(2a+3b)/4 と $|\vec c|=1$ から 4+9+12(a·b)=16、従って $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\frac14$。さらに $\displaystyle (\vec a+\vec b)\cdot\vec c=-\frac{5+5(\vec a\cdot\vec b)}4=-\frac{25}{16}$、$\displaystyle |\vec a+\vec b|^2=\frac52$。$|\vec a+\vec b+t\vec c|^2=|\vec a+\vec b|^2+2t(\vec a+\vec b)\cdot\vec c+t^2$ は $\displaystyle t=\frac{25}{16}$ で最小となり、その平方は$\displaystyle \frac52-\left(\frac{25}{16}\right)^2=\frac{15}{256}$。 (3)

赤玉を1つ始点にして円周を一周し、各赤玉の直後から次の赤玉までにある白玉の個数を順に並べる。すると長さ $m=2k$、和 $m$ の非負整数列になる。逆にそのような列から円配置を作れ、始点の赤玉を変えることは列を巡回シフトすることに当たる。よって円配置の個数は、これらの列を巡回シフトで同一視した個数である。長さ $m$、和 $m$ の列の総数は、星取り法により $\displaystyle \binom{2m-1}{m-1}$。

$k=1$（$m=2$）では列は $(0,2),(1,1),(2,0)$。最初と最後は巡回シフトで同じ配置、$(1,1)$ は別なので $N_1=2$。

$k=2$（$m=4$）では列は合計 $\displaystyle \binom73=35$ 個。周期1の列は $(1,1,1,1)$ の1個。周期2の列は $(u,v,u,v)$、$u+v=2$ であり、定数列を除く2個は巡回シフトで同じ1配置になる。残る $35-1-2=32$ 個は周期4で、各配置は4列ずつなので8配置。従って $N_2=1+1+8=10$。

$k=3$（$m=6$）では列は $\displaystyle \binom{11}{5}=462$ 個。周期1の列は全て1の列1個。周期2の列は $(u,v)$ を3回繰り返す形で $u+v=2$。定数列を除く2列は巡回シフトで同じ1配置。周期3の列は和3の長さ3の列を2回繰り返す形である。星取り法でその列は $\displaystyle \binom52=10$ 個、全て1の列を除く9列が周期3で、巡回シフト3列ずつから3配置を作る。残り $$462-1-2-9=450$$ 列は周期6で、配置ごとに6列ずつあるから75配置。従って $$N_3=1+1+3+75=80.$$ 以上より空欄は $(お,か,き)=(2,10,80)$。