I横浜市立大学 2023年 数学 第I問解答・解説

(1) $\log_4 9=\log_2 3$ だから $2^{\log_4 9}=2^{\log_2 3}=3$。

(2) 条件から $z^4=z^2-1$。したがって $z^6=z^2z^4=z^4-z^2=-1$、よって $z^{12}=1$ であり $z\ne0$。これより $z^{40}=z^4$, $z^{10}=z^4z^6=-z^4$, $z^{-20}=z^4$ だから $$\displaystyle z^{40}+2z^{10}+\frac1{z^{20}}=z^4-2z^4+z^4=0.$$

(3) $t=\cos^2x$ とおくと $0\leq t\leq1$ かつ $1+\sin^2x=2-t$。よって左辺は $$\displaystyle \frac1{2+t}+\frac1{2-t}=\frac4{4-t^2}.$$ 方程式を解くと $4/(4-t^2)=64/63$ より $t^2=1/16$。$t\geq0$ だから $t=1/4$、すなわち $\cos x=\pm1/2$。指定範囲内では $x=60^\circ,120^\circ$ の2個。

(4) 各問題の選択を独立かつ一様と解釈する場合、ちょうど3問正解する確率は $$\displaystyle \binom53\left(\frac15\right)^3\left(\frac45\right)^2=\frac{160}{3125}=\frac{32}{625}.$$ この値は設問ごとの選択が独立であることを仮定する。