5新潟大学 2009年 数学 第5問解答・解説

曲線上の点を $C_x=(x,1/x)$（$x>0$）とおき、中心 $A=(0,a)$ からの距離の2乗を $$\displaystyle P(x)=AC_x^2=x^2+\left(\frac1x-a\right)^2$$ とする。円が $B=(b,1/b)$ を通るので、その円と曲線の交点は $P(x)=P(b)$ を満たす点に一致する。

まず、 $$\displaystyle P'(x)=2x-\frac{2}{x^2}\left(\frac1x-a\right)=\frac{2(x^4+ax-1)}{x^3}$$ である。関数 $T(x)=1/x-x^3$ は $$\displaystyle T'(x)=-\frac1{x^2}-3x^2<0,\qquad \lim\limits _{x\to0+}T(x)=+\infty,\quad \lim\limits _{x\to\infty}T(x)=-\infty$$ を満たす。したがって $T(c)=a$ となる $c>0$ がただ1つ存在する。また $$x^4+ax-1=x\bigl(a-T(x)\bigr)$$ だから、$P'(x)<0$ は $0<x<c$ で、$P'(x)>0$ は $x>c$ で成り立つ。よって $P$ は $x=c$ でただ1つの最小値をとる。さらに $P(x)\to+\infty$（$x\to0+$ または $x\to\infty$）なので、方程式 $P(x)=P(b)$ が正の解をただ1つだけもつのは $b=c$ のときに限る。

したがって (1) は $\displaystyle a=T(b)=\dfrac1b-b^3$（$b>0$）。