3新潟大学 2009年 数学 第3問解答・解説

(1) 漸化式から得られる等式 $n=1$ では $a_1=\cos(\theta/2)$ である。$a_n=\cos(\theta/2^n)$ が成り立つと仮定する。$|\theta/2^{n+1}|<\pi/2$ だから、その余弦は正である。半角の公式 $1+\cos x=2\cos^2(x/2)$ を用いると $$\displaystyle a_{n+1}=\sqrt{\frac{1+a_n}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos(\theta/2^n)}2}=\left|\cos\frac{\theta}{2^{n+1}}\right|=\cos\frac{\theta}{2^{n+1}}.$$ したがって、数学的帰納法によりすべての $n\ge1$ について成り立つ。

(2) 積の等式 二倍角の公式 $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ を繰り返し用いると $$\displaystyle \sin\theta=2^n\sin\frac{\theta}{2^n}\prod\limits _{k=1}^n\cos\frac{\theta}{2^k}$$ となり、求める等式が示される。

(3) 極限 (1)より $\displaystyle b_n=\prod\limits _{k=1}^n\cos(\theta/2^k)$ である。$\theta\ne0$ のとき、(2)から $$\displaystyle b_n=\frac{\sin\theta}{2^n\sin(\theta/2^n)}.$$ 基本極限 $\displaystyle \lim\limits _{u\to0}\sin u/u=1$ により、分母は $\theta$ に近づく。したがって $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}b_n=\frac{\sin\theta}{\theta}}.$$

Tags. Unit: trigonometric identities and sequences/limits. Method: induction, repeated double-angle identity, standard small-angle limit. Theme: nested radicals, telescoping trigonometric products.

Quality comparison and disposition Independent derivation was saved before consulting the prior answer. The prior final result agrees: (1) a_n=cos(theta/2^n); (2) the stated product equals sin(theta); (3) lim b_n=sin(theta)/theta for theta != 0.. Both forward and backward old results agree, including the induction and the sin(x)/x limit. The original accepted result files and their evidence metadata remain untouched. Prior actual-result evidence was not independently validated, so actual model status stays UNVERIFIED.　 Disposition: mathematics PASS; source eligible; display matched; adopt this independent high-school solution.