2新潟大学 2009年 数学 第2問解答・解説

与えられた行列は $$A=\begin{pmatrix}8&-10\\4&-6\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}5&1\\2&1\end{pmatrix},\qquad C=P^{-1}BP=\begin{pmatrix}-1&a\\0&8\end{pmatrix}$$ である。

(1) 成分を用いて $$\displaystyle P^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}1&-1\\-2&5\end{pmatrix}$$ とおくと、これを $P$ の左から掛けた積、右から掛けた積はいずれも単位行列となる。したがってこの行列が $P^{-1}$ である。また $$AP=\begin{pmatrix}20&-2\\8&-2\end{pmatrix}$$ だから $$\displaystyle P^{-1}AP =\frac13\begin{pmatrix}1&-1\\-2&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}20&-2\\8&-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4&0\\0&-2\end{pmatrix}.$$

(2) $D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}4&0\\0&-2\end{pmatrix}$ とおく。$AB=BA$ の両辺に左から $P^{-1}$、右から $P$ を掛け、積をまとめると $$DC=CD$$ を得る。両辺を成分で計算すると $$DC=\begin{pmatrix}-4&4a\\0&-16\end{pmatrix},\qquad CD=\begin{pmatrix}-4&-2a\\0&-16\end{pmatrix}.$$ よって $4a=-2a$、したがって $a=0$ である。ゆえに $$\displaystyle B=P\begin{pmatrix}-1&0\\0&8\end{pmatrix}P^{-1} =\frac13\begin{pmatrix}-5&8\\-2&8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1\\-2&5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-7&15\\-6&14\end{pmatrix}.$$ この値を直接掛けると $AB=BA=\begin{pmatrix}4&-20\\8&-24\end{pmatrix}$ となり、条件にも合う。

(3) 上で得た $A+B$ は $$A+B=\begin{pmatrix}1&5\\-2&8\end{pmatrix} =P\begin{pmatrix}3&0\\0&6\end{pmatrix}P^{-1}.$$ 行列積の結合法則と $P^{-1}P=I$ により、自然数 $n$ について $$(A+B)^n=P\begin{pmatrix}3^n&0\\0&6^n\end{pmatrix}P^{-1}.$$ これは $n=1$ で上式に一致し、右辺をもう一度 $A+B$ と掛けると指数が一つ増えるので、積の結合法則を使った帰納法でも確かめられる。成分を計算して $$\displaystyle (A+B)^n=\frac13\begin{pmatrix} 5\cdot3^n-2\cdot6^n&-5\cdot3^n+5\cdot6^n\\ 2\cdot3^n-2\cdot6^n&-2\cdot3^n+5\cdot6^n \end{pmatrix}.$$ $n=1$ を代入すると $A+B$ に戻る。