2広島大学 2010年 数学 第2問解答・解説

まず $$P(a)=a^3-(2p+a)a^2+(2ap+1)a-a=0$$ であるから、因数定理により $$P(x)=(x-a)(x^2-2px+1)$$ と因数分解できる。

剰余の定理より、 $$P(3)=30-18p+6ap-10a=10-6p$$ である。整理すると $$(3p-5)(a-2)=0$$ を得る。もし $\displaystyle p=\frac53$ なら、二次式 $x^2-2px+1$ の判別式は $\displaystyle 4(p^2-1)=\frac{64}{9}>0$ であり、異なる二つの実数解をもつ。これらはともに $P(x)=0$ の解となるため、実数解が $a$ のみという条件に反する。よって $a=2$ である。

このとき二次式 $x^2-2px+1$ の判別式は $4(p^2-1)$ である。 $p^2>1$ なら異なる二つの実数解をもち、少なくとも一つは $2$ と異なる。また $p^2=1$ なら重解は $x=p=1$ または $x=p=-1$ で、いずれも $2$ と異なる。どちらも条件に反するので $p^2<1$、すなわち $-1<p<1$ である。したがって実数の範囲での因数分解は $$\boxed{P(x)=(x-2)(x^2-2px+1)},\qquad -1<p<1$$ である。

(2) より $a=2$。

(3) $a=2$ を代入すると $$P(x)=x^3-(2p+2)x^2+(4p+1)x-2$$ であり、 $$P'(x)=3x^2-(4p+4)x+4p+1$$ となる。この二次式の判別式は $$(4p+4)^2-12(4p+1)=4(2p-1)^2$$ である。 $\displaystyle p\ne\frac12$ なら判別式は正で、導関数は異なる二つの実数解をもち、その間で負、外側で正となるため、$P(x)$ は極大値と極小値をもつ。一方、$\displaystyle p=\frac12$ なら $P'(x)=3(x-1)^2\ge0$ となり、導関数の符号は変わらないので極値をもたない。これは既に得た $-1<p<1$ も満たす。よって求める値は $$\displaystyle p=\frac12$$ である。

$P(a)=0$ を用いて $x-a$ を因数として取り出す。余りの条件に $x=3$ を代入し、実数解についての仮定から $p=5/3$ を除くと $a=2$ を得る。このとき二次式の因数は実数解をもたないので $|p|<1$ である。最後に、導関数の判別式と符号から、$P$ が極値をもたない条件を求める。