1岡山大学 2017年 数学 第1問解答・解説

・ 6人を2人ずつ3組に分ける。6人の並べ方から、各組内の2人の並べ替えと3組相互の並べ替えを除くので、$$\displaystyle \frac{6!}{(2!)^3 3!}=15.$$

・ まず3人組を選ぶ。残る4人を2人ずつの2組に分ける方法は、4人から一方の組の2人を選び、2組の入れ替えを除いて$\displaystyle \binom{4}{2}/2!=3$通りである。したがって、$$\displaystyle \binom{7}{3}\frac{\binom{4}{2}}{2!}=35\cdot3=105.$$

・ 全事象では、まず8人から7人を選び、その7人を2人組、2人組、3人組に分ける。よって$$\displaystyle \binom{8}{7}\binom{7}{3}\frac{\binom{4}{2}}{2!}=8\cdot105=840$$通りである。 A,Bがともに選ばれるには、除かれる人がC,D,E,F,G,Hのいずれかでなければならず、その選び方は6通りである。各選び方について、A,Bが同じ組になる分け方を数える。 A,Bが2人組になる場合、残る5人から3人組を選べばよいので$\displaystyle \binom{5}{3}=10$通り。A,Bが3人組になる場合、残る5人からその組の1人を選び、さらに残る4人を2人組2組に分けるので$$\displaystyle \binom{5}{1}\frac{\binom{4}{2}}{2!}=5\cdot3=15$$通り。これらは異なる場合だから、各選び方につき$10+15=25$通り、条件を満たす結果は$6\cdot25=150$通りである。したがって求める確率は$$\displaystyle \frac{150}{840}=\frac{5}{28}.$$