鹿児島大学 2015年新教育課程数学第2問解答・解説

1問題

鹿児島大学2015年度第2問

新教育課程による問題である。新教育課程履修者は新教育課程による問題を解答すること。旧教育課程履修者は新教育課程または旧教育課程のどちらを解答してもよいが、両課程の問題にまたがって解答してはならない。

次の各問いに答えよ。

(1) 0でない実数 $a,b,c,d$ が $3^a=5^b=7^c=105^d$ を満たすとき、

$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d}$

が成り立つことを示せ。

(2) 関数 $f(x)=-3mx+2n$ と関数 $g(x)=6x^2-2nx-m$ について

$\displaystyle S=\int_0^2 f(x)\,dx,\qquad T=\int_0^2 g(x)\,dx$

とおく。ただし、 $m\geq0,n\geq0$ とする。このとき、次の各問いに答えよ。

(a) $S$ と $T$ を $m$ と $n$ を用いて表せ。

(b) $S\geq0,T\geq0$ のとき、 $m+n$ が最大となるような $m$ と $n$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$1/a+1/b+1/c=1/d$
(2a)
$S=−6m+4n, T=16−4n−2m$
(2b)
$(m,n)=(2,3), max(m+n)=5$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 共通の値を $K$ とおく。 $K>0$ であり、 $a,b,c,d\ne0$ だから $L=\log K\ne0$ 。対数をとると $a\log3=b\log5=c\log7=d\log105=L.$ 従って $\displaystyle \frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac{\log3+\log5+\log7}{L}=\frac{\log105}{L}=\frac1d.$

(2)(a) $\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^2(-3mx+2n)\,dx=-6m+4n,\\T&=\int_0^2(6x^2-2nx-m)\,dx=16-4n-2m.\end{aligned}$

(2)(b) $S\ge0$ より $\displaystyle n-\frac32m\ge0$ 、 $T\ge0$ より $8-m-2n\ge0$ 。このとき $\displaystyle 5-(m+n)=\frac14\left(n-\frac32m\right)+\frac58(8-m-2n)\ge0.$ 従って $m+n\le5$ 。等号は両制約が等号のときで、 $\displaystyle n=\frac32m$ , $m+2n=8$ から $m=2,n=3$ 。この組は $m,n\ge0$ も満たし、 $S=T=0$ である。よって最大値は $5$ 。

共通値を対数化すれば(1)の逆数和は底の対数の和となり、105=3·5·7で結論を得る。(2)は積分後、S≧0とT≧0が表す非負量を正係数で組み合わせて5−(m+n)を表す。等号条件から最大点(2,3)を得る。

この問題で使う考え方

対数をとって指数を表す
多項式の項別積分
制約式の非負一次結合

1問題

2答え

3解答

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