2北海道大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(1) 漸化式を $p^{n+1}$ で割ると、$$\displaystyle b_{n+1}=b_n+\left(-\frac qp\right)^{n+1},\qquad b_1=0.$$ よって $n\ge1$ に対して $$\displaystyle b_n=\sum\limits _{k=2}^{n}\left(-\frac qp\right)^k=\frac{\left(-\frac qp\right)^2\left\{1-\left(-\frac qp\right)^{n-1}\right\}}{1+q/p}=\frac{q^2}{p(p+q)}\left\{1-\left(-\frac qp\right)^{n-1}\right\}.$$ (2) $q=1$ のとき (1) より $$\displaystyle a_n=p^n b_n=\frac{p^{n-1}-(-1)^{n-1}}{p+1}.$$ したがって $$\displaystyle a_{n+1}-a_n=\frac{p^{n-1}(p-1)+2(-1)^{n-1}}{p+1}.$$ $n=2$ の場合、この差は $p-2$ なので、すべての n で非負であるためには $p\ge2$ が必要である。逆に $p\ge2$ とする。n が奇数なら分子は p^{n-1}(p-1)+2>0。n が偶数なら n$\ge$2 であり、p^{n-1}(p-1)$\ge$ $p\ge2$ だから分子は非負である。よってすべての自然数 n で a_{n+1}$\ge$ a_n となり、求める範囲は $p\ge2$ である。