1鹿児島大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1) $AC=8,\ AP=2$ より $PC=6$ である。また、$P$ は $AC$ と $BD$ の交点なので、$\angle DAP=\angle DAC=\angle CBD=\angle CBP$

であり、$\angle DPA=\angle BPC$ は対頂角で等しい。したがって、$\triangle DAP\sim\triangle CBP$ である。対応する辺の比から $$\displaystyle \frac{DP}{CP}=\frac{AP}{BP}$$ となるので、$\displaystyle \frac{4}{6}=\frac{2}{BP}$、よって $BP=3$。したがって $BD=BP+PD=3+4=7$ である。　 (2) 例えば、中心が $O_1=(-1,0)$, $O_2=(1,0)$、半径がともに $1$ の円を考える。円の方程式は $$C_1:(x+1)^2+y^2=1,\qquad C_2:(x-1)^2+y^2=1$$ であり、2円は $(0,0)$ で外接する。このとき $x=0,\ y=1,\ y=-1$ が共通接線である。これらがすべてであることも確認する。単位法線ベクトル $(u,v)$ と実数 $w$ を用いて、共通接線を次の形に書く。 $$ux+vy+w=0,\qquad u^2+v^2=1.$$ 2円の中心から直線までの距離がともに半径 $1$ なので $$(w-u)^2=1,\qquad (w+u)^2=1$$ である。差をとると $wu=0$ となる。$w=0$ のときは $u^2=1,\ v=0$ となり、直線は $x=0$ である。$u=0$ のときは $w^2=1,\ v^2=1$ となり、直線は $y=1$ または $y=-1$ である。よって共通接線はちょうど3本である。　 (3) 積が $3$ の倍数でないのは、3個のさいころのどの目も $3$ の倍数でない場合である。1個のさいころでそのような目は $1,2,4,5$ の4通りだから、余事象の確率は、さいころを同時に投げる独立性より $$\displaystyle \left(\frac{4}{6}\right)^3=\frac{8}{27}$$ である。したがって求める確率は $$\displaystyle 1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}$$ である。　 (4) 元の命題の前件を $P:ab=0$、後件を $Q:a=0\text{ かつ }b=0$ とする。逆は $Q\Rightarrow P$ であり、「aとbがともに0なら積も0」という命題なので真である。対偶は $\neg Q\Rightarrow\neg P$ であり、「aまたはbが0でなければ積は0でない」という主張になる。例えば $a=0,\ b=1$ とすると、対偶の前件は真、後件は偽となるため、対偶は偽である。