3鹿児島大学 2013年 数学 第3問解答・解説

(1) $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{HA}},\ \vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{HB}},\ \vec{w}=\overrightarrow{\mathrm{HC}}$ とおく。垂心の定義より、$AH\perp BC$、$BH\perp CA$ であるから、$$(-\vec{u})\cdot(\vec{w}-\vec{v})=0,\qquad (-\vec{v})\cdot(\vec{w}-\vec{u})=0.$$ よって $\vec{u}\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{v}$、$\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{v}\cdot\vec{u}$ となる。内積の交換法則より、$$\overrightarrow{\mathrm{HA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HB}}=\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{w}=\overrightarrow{\mathrm{HB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HC}},$$ また $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{w}=\vec{w}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{HC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HA}}$ である。したがって、示すべき等式が成り立つ。

(2)(a) 偶数因子と奇数因子に分けると、$$(2k)!=(1\cdot3\cdot5\cdots(2k-1))(2\cdot4\cdot6\cdots2k).$$ ここで、前の積は定義により $a_k$、後の積は $2^k(1\cdot2\cdot3\cdots k)=2^k k!$ である。よって、$$(2k)!=2^k k!a_k$$ が成り立つ。

(2)(b) $P(n)$ を「$(2^n)!$ は $2^{2^n-1}$ で割り切れる」とする。$n=0$ のとき、$(2^0)!=1=2^0=2^{2^0-1}$ なので $P(0)$ は成り立つ。次に、整数 n を 0 以上とし、P(n) が成り立つと仮定する。$m=2^n$ とおくと、仮定より、ある整数 $q$ を用いて $m!=2^{m-1}q$ と書ける。(a)を $k=m$ に適用すると、$$(2^{n+1})!=(2m)!=2^m m!a_m=2^m\cdot2^{m-1}q\cdot a_m=2^{2m-1}qa_m.$$ ここで $2m=2^{n+1}$ だから、右辺は $2^{2^{n+1}-1}$ の整数倍である。よって $P(n+1)$ が成り立つ。以上より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について $2^{2^n-1}\mid(2^n)!$ である。