3北海道大学 2005年 数学 第3問解答・解説

(1) $m\geq1$ とし、各 $k=1,\ldots,n$ で$k-1\le t\le k$ の範囲を考える。この区間では $t^m\leq k^m\leq(t+1)^m$ なので、長さ1の区間で積分して加えると $$\displaystyle \int_0^n t^m\,dt\leq\sum\limits _{k=1}^n k^m\leq\int_0^n(t+1)^m\,dt.$$ $m=0$ の場合も両端と和はすべて $n$ であり、成立する。

(2) $\displaystyle S_m(n)=\sum\limits _{k=1}^n k^m$ とおく。(1)から、$m\geq1$ について $$\displaystyle \frac1{m+1}\leq\frac{S_m(n)}{n^{m+1}}\leq\frac{(1+1/n)^{m+1}-n^{-(m+1)}}{m+1}.$$ 両端は $n\to\infty$ で $1/(m+1)$ に収束するので、はさみうちにより $S_m(n)/n^{m+1}\to1/(m+1)$。

$\displaystyle f(x)=x^r+\sum\limits _{j=0}^{r-1}c_jx^j$ とする。$r\geq1$ なら各 $0\leq j<r$ について $$\displaystyle \left|\frac{c_j}{n^{r+1}}\sum\limits _{k=1}^n k^j\right| \leq\frac{|c_j|n^{j+1}}{n^{r+1}} =\frac{|c_j|}{n^{r-j}}\longrightarrow0,$$ ここで $k^j\leq n^j$ を用いた。従って最高次項だけが極限に残り、求める極限は $1/(r+1)$。$r=0$ なら $f(x)=1$ なので、和は $n$、極限は $1=1/(r+1)$。

(3) 与えられた恒等式を $n^r$ で割る。(2)と $f(n)/n^r\to1$ より $$\displaystyle \frac1{r+1}=\frac12,$$ 従って $r=1$。そこで $f(x)=x+c_0$ とおくと $$\displaystyle \frac1n\sum\limits _{k=1}^n f(k)=\frac{n+1}{2}+c_0, \qquad \frac12f(n)=\frac{n+c_0}{2}.$$ 両者が等しいので $c_0=-1$。よって $f(x)=x-1$。実際、$\displaystyle \frac1n\sum\limits _{k=1}^n(k-1)=(n-1)/2=\frac12f(n)$ が全ての自然数 $n$ で成り立つ。