5北海道大学 2005年 数学 第5問解答・解説

底面を正三角形 $ABC$、頂点を $D$、一辺を $a$、底面の重心を $G$ とする。正三角形の中線の長さは $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}a$ であり、重心は頂点から中線を $2:1$ に内分するから、$\displaystyle GA=\frac{a}{\sqrt{3}}$ である。直角三角形 $DGA$ で $DA=a$ より、$\displaystyle DG=h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}$。

球の中心を $O$、$OG=x$ とする。球の中心を底面に正射影した点は正三角形 $ABC$ の外心 $G$ であるから、$O,G,D$ は一直線上にある。$OA=OD$ より、$\displaystyle \frac{a^2}{3}+x^2=(h-x)^2$。したがって、$\displaystyle 2hx=h^2-\frac{a^2}{3}=\frac{a^2}{3}$、$\displaystyle x=\frac{a^2}{6h}$。

球の半径を $R$ とすると、$\displaystyle R^2=OA^2=\frac{a^2}{3}+x^2=\frac{a^2}{3}+\frac{a^4}{36h^2}=\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{24}=\frac{3a^2}{8}$。よって $\displaystyle R=\frac{\sqrt{6}}{4}a$。$R=1$ を代入すると、$\displaystyle a=\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。