1大阪医科薬科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

〔1〕

石の色だけを区別するので、並び方は黒石の位置3か所を10か所から選ぶことで一意に決まる。

agraph{(1)} $$\displaystyle \boxed{\binom{10}{3}=120\text{通り}}.$$

agraph{(2)} 黒石3個が連続する並びは、長さ3の黒石ブロックの開始位置が1から8までの8通りである。全120通りが等確率なので $$\displaystyle \boxed{\frac{8}{\binom{10}{3}}=\frac1{15}}.$$

agraph{(3)} 黒石の位置を $i_1<i_2<i_3$ とする。求める部分がないための必要十分条件は、隣り合う黒石の位置差 $d_1=i_2-i_1$, $d_2=i_3-i_2$ がともに1または2であること（間の白石が0個または1個）である。 $d_1,d_2$ をそれぞれ1または2に固定すると、$i_1$ の選び方は $10-d_1-d_2$ 通りだから、そのような補事象は $$\displaystyle (8+7+7+6)=\sum\limits _{d_1=1}^{2}\sum\limits _{d_2=1}^{2}(10-d_1-d_2)=28\text{通り}.$$ したがって求める確率は $$\displaystyle \boxed{\frac{120-28}{120}=\frac{23}{30}}.$$

agraph{検算} 求める部分がある列では、3個の黒石の隣接位置差の少なくとも一方が3以上となる。全120通りから差が両方1または2の28通りを除いた92通りと一致する。