6筑波大学 2005年 数学 第6問解答・解説

(1) 1回目と2回目の得点を合わせた $60$ 個のデータの平均は $$\displaystyle \bar{x}=\frac{30\cdot62+30\cdot60}{60}=61.$$ 各回 $j$ の人数を $m_j$、平均を $\mu_j$、分散を $v_j$、全体平均を$\bar{x}$、その回の得点を$x_1,\ldots,x_{m_j}$とすると、分散の定義から $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{m_j}(x_i-\bar{x})^2 =\sum\limits _{i=1}^{m_j}\bigl((x_i-\mu_j)+(\mu_j-\bar{x})\bigr)^2 =m_j\{v_j+(\mu_j-\bar{x})^2\};$$ ここでは $\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{m_j}(x_i-\mu_j)=0$ を用いた。2回目の分散を $v$ とおけば $$\displaystyle 44=\frac{30\{36+(62-61)^2\}+30\{v+(60-61)^2\}}{60} =\frac{v+38}{2},$$ したがって $\boxed{v=50}$。

(2) 共分散を2つの標準偏差の積で割ると $$\displaystyle r=\frac{20}{\sqrt{36}\sqrt{50}} =\frac{20}{6\cdot5\sqrt2} =\boxed{\frac{\sqrt2}{3}}.$$

(3) 3回分を合わせると得点データは $30+30+24=84$ 個で、全体平均は $$\displaystyle \bar{x}=\frac{30\cdot62+30\cdot60+24\cdot54}{84}=59.$$ 同じ分散の合成式を各回に適用すると $$\displaystyle \begin{aligned} V &=\frac{30\{36+(62-59)^2\} +30\{50+(60-59)^2\} +24\{51+(54-59)^2\}}{84}\\ &=\frac{1350+1530+1824}{84} =\boxed{56}. \end{aligned}$$