3筑波大学 2005年 数学 第3問解答・解説

曲線 $y=e^x$ の $x=u$ における接線の傾きは $e^u$ なので、法線は $$y=-e^{-u}x+e^u+ue^{-u}.$$ 2本の法線の交点を $Q$ とする。交点の横座標 $x_Q$ は $$\displaystyle x_Q-a=\frac{e^t-e^a+(t-a)e^{-t}}{e^{-t}-e^{-a}}.$$ $Q$ は $A$ における法線上にあるため、距離は $$L_a(t)=|x_Q-a|\sqrt{1+e^{-2a}}.$$

(1) 分子・分母をそれぞれ $t-a$ で割って極限をとると $$\displaystyle \lim\limits _{t\to a}(x_Q-a) =\frac{e^a+e^{-a}}{-e^{-a}} =-(1+e^{2a}).$$ 従って $$\displaystyle r(a)=(1+e^{2a})\sqrt{1+e^{-2a}} =\frac{(1+e^{2a})^{3/2}}{e^a},$$ 最後の等式では $e^a>0$ を用いた。

(2) $u=e^{2a}>0$ とおくと $$\displaystyle r(a)^2=\frac{(1+u)^3}{u},\qquad \frac{(1+u)^3}{u}-\frac{27}{4} =\frac{(2u-1)^2(u+4)}{4u}\ge0.$$ 等号は $\displaystyle u=\frac12$、すなわち $\displaystyle a=-\frac{\ln2}{2}$ のときに成立する。$r(a)>0$ だから $$\displaystyle \text{実数全体での }r(a)\text{ の最小値}=\frac{3\sqrt3}{2} \quad\text{（達成点 }a=-\frac{\ln2}{2}\text{）}.$$

法線の交点の横座標から距離の極限を計算し、正の置換$u=e^{2a}$と平方差の因数分解で最小値を示す。