2京都大学 2011年 数学 第2問解答・解説

固定点条件から $$T(1,2)=(a+2,b+2c)=(1,2)$$ となるので、$a=-1$、$b+2c=2$、すなわち $b=2-2c$ である。像は $$A=T(1,0)=(-1,b),\qquad B=T(0,1)=(1,c).$$ 三角形 $OAB$ の面積は、2本のベクトルを列にもつ行列式の絶対値の半分だから $$\displaystyle [OAB]=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}-1&1\\b&c\end{pmatrix}\right|=\frac12|b+c|.$$ 面積条件より $|b+c|=1$。ここに $b=2-2c$ を代入すると $|2-c|=1$ なので、$c=1$ または $3$。従って $$\boxed{(a,b,c)=(-1,0,1)\quad\text{または}\quad(-1,-4,3)}.$$

固定点条件から $a=-1$ と $b=2-2c$ を得る。像 $A,B$ を求め、行列式で三角形の面積を計算する。面積条件は $|2-c|=1$ に帰着し、二つの解を得る。